《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

12. 如图,在四边形 ABCD 中, $ AD// BC $, $ AE\perp AD $ 交 BD 于点 E, $ CF\perp BC $ 交 BD 于点 F,且 $ AE = CF $. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
证明:$ \because AD // BC, \therefore \angle ADB = \angle CBD. \because AE \perp AD, CF \perp BC, \therefore \angle EAD = \angle FCB = 90^\circ. \because AE = CF, \therefore \triangle EAD \cong \triangle FCB(AAS), \therefore AD = BC. \because AD // BC, \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.

答案： $ \because AD // BC, \therefore \angle ADB = \angle CBD. \because AE \perp AD, CF \perp BC, $
$ \therefore \angle EAD = \angle FCB = 90^\circ. \because AE = CF, \therefore \triangle EAD \cong \triangle FCB(AAS), $
$ \therefore AD = BC. \because AD // BC, \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 D 是 AB 的中点,CE 平分 $ \angle ACB $, $ AE\perp CE $ 于点 E. 求证: $ DE// BC $.

证明:延长 $ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $$ \because CE $ 平分 $ \angle ACB, \therefore \angle ACE = \angle FCE. $
$ \because AE \perp CE, \therefore \angle AEC = \angle FEC = 90^\circ. $
又 $ \because CE = CE, \therefore \triangle AEC \cong \triangle FEC(ASA), $
$ \therefore AE = EF $，即点 $ E $ 为 $ AF $ 的中点.
又 $ \because $ 点 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，$ \therefore DE $ 是 $ \triangle ABF $ 的中位线.
由三角形中位线定理知 $ DE // BF $，即 $ DE // BC $.

答案： 延长 $ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ F \because CE $ 平分 $ \angle ACB, \therefore \angle ACE = \angle FCE. $
$ \because AE \perp CE, \therefore \angle AEC = \angle FEC = 90^\circ. $
又 $ \because CE = CE, \therefore \triangle AEC \cong \triangle FEC(ASA), $
$ \therefore AE = EF $，即点 $ E $ 为 $ AF $ 的中点.
又 $ \because $ 点 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，$ \therefore DE $ 是 $ \triangle ABF $ 的中位线.
由三角形中位线定理知 $ DE // BF $，即 $ DE // BC $.

14. 如图,在平行四边形 ABCD 中,延长 DA 到点 E,延长 BC 到点 F,使得 $ AE = CF $,连接 EF,分别交 AB,CD 于点 M,N,连接 DM,BN. 求证:
(1) $ \triangle AEM\cong \triangle CFN $;
证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore \angle DAB = \angle BCD, AD // BC, \therefore \angle EAM = \angle FCN, \angle E = \angle F. \because AE = CF, \therefore \triangle AEM \cong \triangle CFN. $
(2) 四边形 BMDN 是平行四边形.
证明：由 (1) 得 $ AM = CN $. 又 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD, AB = CD. \therefore BM // DN, BM = DN. \therefore $ 四边形 $ BMDN $ 是平行四边形.

答案：
(1) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore \angle DAB = \angle BCD, AD // BC, \therefore \angle EAM = \angle FCN, \angle E = \angle F. $
$ \because AE = CF, \therefore \triangle AEM \cong \triangle CFN. $
(2) 由
(1) 得 $ AM = CN $. 又 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore AB // CD, AB = CD. \therefore BM // DN, BM = DN. $
$ \therefore $ 四边形 $ BMDN $ 是平行四边形.

15. 如图是某城市部分街道示意图, $ AF// BC $, $ EC\perp BC $ 于 C, $ BA// ED $, $ BD// AE $. 甲、乙两人同时从 B 站乘车到 F 站,甲乘 1 路车,路线是 $ B\rightarrow A\rightarrow E\rightarrow F $;乙乘 2 路车,路线是 $ B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow F $. 假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达 F 站? 请说明理由.

两人同时到达 F 站. 理由: 因为 $ BA // DE, BD // AE $，所以四边形 $ ABDE $ 是平行四边形，所以 $ AB = DE, AE = BD $.因为 $ EC \perp BC, AF // BC $，所以 $ EC \perp AF $，延长 $ FA $ 交 $ EC $ 于点 G，则 $ FG\perp EC $，所以 $ \triangle AEG $ 和 $ \triangle AFC $ 均为直角三角形. 由于 $ AF// BC $，可证得 $ \triangle AEF \cong \triangle DCF $（AAS或ASA），所以 $ EF = CF $，$ AE = DC $，又因为 $ AB = DE $，$ AE = BD $，所以 $ AB + AE + EF = BD + DC + CF $，即甲、乙两人的路程相等. 又因为两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，所以两人同时到达 F 站.

答案： 两人同时到达 $ F $ 站. 理由: 因为 $ BA // DE, BD // AE $，所以四边形 $ ABDE $ 是平行四边形，所以 $ AB = DE, AE = BD, S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ADB} $.
因为 $ EC \perp BC, AF // BC $，所以 $ EC \perp AF $，所以 $ S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2}AD \cdot EF $，
$ S_{\triangle ADF} = \frac{1}{2}AD \cdot CF $. 又因为 $ S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ADB} $，所以 $ EF = CF $，所以直线 $ DF $ 是 $ EC $ 的垂直平分线，所以 $ DE = DC $. 又 $ AB = DE $，所以 $ AB = DC $.
又因为 $ AE = BD $，所以 $ EF = CF $，所以 $ AB + AE + EF = DC + BD + CF $.
又因为两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，所以两人同时到达 $ F $ 站.