《2025年假日时光暑假作业阳光出版社八年级数学人教版》

13. 如图,直线$l_{1}// l_{2}$,A,B 是$l_{1}$上的两点,C,D 是$l_{2}$上的两点.$△ACD与△BCD$的面积相等吗? 请说明理由.
$ \triangle ACD $ 与 $ \triangle BCD $ 的面积相等。理由如下：过点 $ A $ 作 $ AE \perp l_{2} $，垂足为点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF \perp l_{2} $，垂足为点 $ F $。$ \because l_{1} // l_{2} $，$ \therefore AE $，$ BF $ 的长度都是直线 $ l_{1} $，$ l_{2} $ 之间的距离，$ \therefore AE = BF $。又 $ \because S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}CD \cdot AE $，$ S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}CD \cdot BF $，$ \therefore S_{\triangle ACD} = S_{\triangle BCD} $。

答案： $ \triangle ACD $ 与 $ \triangle BCD $ 的面积相等。理由如下：
过点 $ A $ 作 $ AE \perp l_{2} $，垂足为点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF \perp l_{2} $，垂足为点 $ F $。
$ \because l_{1} // l_{2} $，$ \therefore AE $，$ BF $ 的长度都是直线 $ l_{1} $，$ l_{2} $ 之间的距离，$ \therefore AE = BF $。
又 $ \because S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}CD \cdot AE $，$ S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}CD \cdot BF $，$ \therefore S_{\triangle ACD} = S_{\triangle BCD} $。

14. 如图,在$□ ABCD$中,点 E、F 是对角线 AC上的两点,且$AE= CF.$
求证:$∠EBF= ∠FDE.$

证明：连接 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ O $。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore OA = OC $，$ OB = OD $。
又 $ \because AE = CF $，$ \therefore OE = OF $，$ \therefore $ 四边形 $ BEDF $ 是平行四边形，
$ \therefore \angle EBF = \angle FDE $。

答案： 连接 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ O $。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore OA = OC $，$ OB = OD $。
又 $ \because AE = CF $，$ \therefore OE = OF $，$ \therefore $ 四边形 $ BEDF $ 是平行四边形，
$ \therefore \angle EBF = \angle FDE $。

15. 如图,在平行四边形 ABCD 中,$DE⊥AB$于E,$DF⊥BC$于 F,平行四边形 ABCD 的周长为48,$DE= 5,DF= 10.$
(1)求 AB 的长度;16
(2)求平行四边形 ABCD 的面积.80

答案：
(1) 设 $ AB = x $，则 $ BC = 24 - x $，根据平行四边形的面积公式可得 $ 5x = 10(24 - x) $，解得 $ x = 16 $。即 $ AB = 16 $。
(2) $ \because AB = 16 $，$ DE = 5 $，$ \therefore □ ABCD $ 的面积等于 $ 5 × 16 = 80 $。

16. 如图,在$□ ABCD$中,平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA,DC 的延长线于点 M,N,交 BA,BC 于点 P,Q. 求证:$MP= QN.$

证明：证法 1：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $，$ \therefore \angle MPA = \angle N $，$ \angle MAP = \angle D $，$ \angle D = \angle QCN $，$ \therefore \angle MAP = \angle QCN $。$ \because MN // AC $，$ AM // CQ $，$ \therefore $ 四边形 $ AMQC $ 是平行四边形，$ \therefore MA = CQ $，$ \therefore \triangle MAP \cong \triangle QCN $，$ \therefore MP = QN $。或证法 2：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $，$ \therefore AM // CQ $。又 $ \because AC // MN $，即 $ AC // MQ $，$ \therefore $ 四边形 $ MQCA $ 是平行四边形，$ \therefore MQ = AC $。同理可证 $ PN = AC $，$ \therefore MQ - PQ = PN - PQ $，即 $ MP = QN $。

答案： 证法 1：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $，
$ \therefore \angle MPA = \angle N $，$ \angle MAP = \angle D $，$ \angle D = \angle QCN $，$ \therefore \angle MAP = \angle QCN $。
$ \because MN // AC $，$ AM // CQ $，$ \therefore $ 四边形 $ AMQC $ 是平行四边形，$ \therefore MA = CQ $，
$ \therefore \triangle MAP \cong \triangle QCN $，$ \therefore MP = QN $。
证法 2：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AD // BC $，
$ \therefore AM // CQ $。又 $ \because AC // MN $，即 $ AC // MQ $，$ \therefore $ 四边形 $ MQCA $ 是平行四边形，$ \therefore MQ = AC $。同理可证 $ PN = AC $，
$ \therefore MQ - PQ = PN - PQ $，即 $ MP = QN $。

生活中的平行四边形
平行四边形是日常生活中常见的图形,如折叠晾衣架、折叠拉门等,此外,如图所示的缩放尺的结构也是平行四边形.

实际上,平行四边形连杆式是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时,两对边始终保持平行,能方便地进行往复运动.
下面有三组平行四边形连杆机械的实例设计图,它们分别是:(A)指针式弹簧秤;(B)活动工具箱;(C)儿童荡板.每一组设计图中有一幅是合理的,有一幅有一点问题,你知道哪一幅有问题吗?
(A)A₁;(B)B₂;(C)C₁

答案： 【解析】：平行四边形连杆的关键特性是移动时两对边始终保持平行。对于（A）指针式弹簧秤，连杆需带动指针稳定指示，A₂中连杆结构对称且平行关系稳定，A₁可能存在单边受力导致平行性破坏；（B）活动工具箱，平行四边形连杆应保证箱体平稳移动，B₂的连杆交叉设计会使运动轨迹不稳定，B₁的平行连杆结构合理；（C）儿童荡板，两侧支架与荡板构成平行四边形才能保证荡板水平往复运动，C₁两侧支架不对称，平行关系易失衡，C₂结构对称平行性稳定。综合判断，问题在于各选项中破坏平行四边形稳定平行特性的设计。
【答案】：A₁、B₂、C₁