《2025年教材课本六年级数学上册苏教版》

表面涂色的正方体
一个表面涂色的正方体,每条棱都平均分成2份。如果照右图的样子把它切开,能切成多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？

$2×2×2= 8$(个),能切成8个小正方体。
每个小正方体都有3个面涂色。

如果像下图这样把正方体切开,能切成多少个小正方体？切成的小正方体中,3面涂色、2面涂色、1面涂色的各有多少个,分别在什么位置？
先仔细观察,想一想,再在下表中填出来。

如果把这个正方体的每条棱平均分成4份、5份……再切成同样大的小正方体,结果会怎样？先在图中找一找,再把结果填入下表,与同学交流。

| 大正方体的棱平均分的份数 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| :----------------------- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| 切成小正方体的总个数 | | | | | |
| 3面涂色的小正方体个数 | | | | | |
| 2面涂色的小正方体个数 | | | | | |
| 1面涂色的小正方体个数 | | | | | |

观察填出的表格,你能发现什么规律？
3面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置,都是8个。
2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。
1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。

如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数,用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体个数,你能用式子分别表示n和a、b的关系吗？
a = ,b = 。
回顾探索和发现规律的过程,说说你的体会。

找各种小正方体时,要注意它们在大正方体上的位置。
各种小正方体的个数与正方体顶点、面和棱的个(条)数有关。
要把找、数、算等方法结合起来,并根据图形的特征进行思考。

答案： 解析：
本题主要考查正方体的切割以及涂色问题，关键是通过观察不同切割方式下小正方体的涂色情况，找出规律。
对于大正方体棱平均分成$n$份的情况：
3面涂色的小正方体：因为正方体有8个顶点，所以3面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置，个数恒为8个。
2面涂色的小正方体：每条棱上除两端顶点外的小正方体是2面涂色的，大正方体有12条棱，每条棱上2面涂色的小正方体个数为$(n - 2)$个，所以2面涂色的小正方体个数$a = 12×(n - 2)$。
1面涂色的小正方体：每个面中间部分的小正方体是1面涂色的，大正方体有6个面，每个面上一面涂色的小正方体个数为$(n - 2)^2$个，所以1面涂色的小正方体个数$b = 6×(n - 2)^2$。
答案：
| 大正方体的棱平均分的份数 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| 切成小正方体的总个数 | $2^3=8$ | $3^3 = 27$ | $4^3 = 64$ | $5^3 = 125$ | … |
| 3面涂色的小正方体个数 | 8 | 8 | 8 | 8 | … |
| 2面涂色的小正方体个数 | 0 | 12 | 24 | 36 | … |
| 1面涂色的小正方体个数 | 0 | 6 | 24 | 54 | … |
$a = 12×(n - 2)$；$b = 6×(n - 2)^2$。