《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版》

8. 综合与探究
【初步探究】
(1) 如图 1，已知线段 $ AB = 16 $，C，D 为线段 AB 上的两个动点，且 $ CD = 4 $，M，N 分别是 AC 和 BD 的中点，求线段 MN 的长。
【类比探究】
(2) 如图 2，直角 $ ∠COD $ 与平角 $ ∠AOB $ 按如图所示的方式摆放在一起，且 OM 和 ON 分别是 $ ∠AOC $，$ ∠BOD $ 的平分线，求 $ ∠MON $ 的度数。
【知识迁移】
(3) 当 $ ∠AOB = α $，$ ∠COD = β $ 时，按如图 3 所示的方式摆放在一起，且 OM 和 ON 分别是 $ ∠AOC $，$ ∠BOD $ 的平分线，求 $ ∠MON $ 的度数。（用含 α，β 的代数式表示，且 $ 0^{\circ} ＜ α ＜ 180^{\circ} $，$ 0^{\circ} ＜ β ＜ 180^{\circ} $）

答案： 8.解:
(1)
∵AB=16,CD=4,
∴AC+BD=AB−CD=16−4=12.
∵M,N分别是AC和BD的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
∴MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+BD)=$\frac{1}{2}$×12=6.
∴MN=MC+CD+DN=6+4=10.
(2)
∵∠AOB=180°,∠COD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB−∠COD=180°−90°=90°.
∵OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=90°+45°=135°.
(3)
∵OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MON=∠MOC +∠COB+∠BON=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠COB+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC+2∠COB+∠BOD)=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD)=$\frac{1}{2}$(α+β).

9. 已知 O 是直线 AB 上的一点，$ ∠COD = 90^{\circ} $，OE 是 $ ∠BOD $ 的平分线。

(1) 如图 1，当点 C，D，E 在直线 AB 的同侧时。
① 若 $ ∠COE = 35^{\circ} $，求 $ ∠AOD $ 的度数。
② 若 $ ∠COE = α $，则 $ ∠AOD = $2α。(用含 α 的式子表示)
(2) 如图 2，当点 C 与点 D，E 在直线 AB 的两侧时，(1) 中②的结论是否仍然成立？请给出结论并说明理由。

答案： 9.解:
(1)①
∵∠COD=90°,∠COE=35°,
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−35°=55°.
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠DOE=2×55°=110°.
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−110°=70°.②2α
(2)成立.理由如下：当点C与点D，E在直线AB的两侧时，
∵∠COE=α,∠COD=90°,
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−α.
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠DOE=2(90°−α).
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°-(180°−2α)=2α.