《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版》

【例】 石家庄外国语校本经典题 如图，$∠AOC=130^{\circ },∠BOC=50^{\circ }$，且 OD 平分$∠AOB$，OE 平分$∠BOC$.
(1)求$∠DOE$的度数.
(2)若将条件“$∠BOC=50^{\circ }$”删去，其余条件不变，则$∠DOE$的度数是否会改变？请说明理由.

【拓展提问】 若 OB 在$∠AOC$的外部，其他条件不变，则$∠DOE=$65°.

答案：
(1)65°；
(2)不会变。理由如下：
∵OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
∴∠DOB=1/2∠AOB，∠BOE=1/2∠BOC。
∵∠AOB+∠BOC=∠AOC，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=1/2∠AOC=65°；【拓展提问】65°

【变式 1】 如图，已知 OE 平分$∠AOC$，OF 平分$∠BOC$.
(1)若$∠AOB=70^{\circ },∠BOC=30^{\circ }$，则$∠EOF=$35°.
(2)若$∠AOB=α,∠BOC=β$，求$∠EOF$的度数.
(3)通过(1)(2)的计算，能发现什么？

答案：
(1)35°；
(2)
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=1/2∠AOC。
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=1/2∠BOC。
∴∠EOF=∠EOC - ∠COF=1/2∠AOC - 1/2∠BOC=1/2(∠AOC - ∠BOC)=1/2∠AOB=1/2α；
(3)发现∠EOF=1/2∠AOB，与∠BOC的度数无关。

【变式 2】 如图，$∠AOB=80^{\circ },∠AOC＜180^{\circ }$，OE 平分$∠AOD$，OF 平分$∠BOC$. 若$∠COD=50^{\circ }$，求$∠EOF$的度数.

答案：
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴∠AOE=∠EOD=1/2∠AOD，∠BOF=∠FOC=1/2∠BOC。
∴∠EOF=∠EOD + ∠BOF - ∠BOD=1/2∠AOD + 1/2∠BOC - ∠BOD=1/2(∠AOD + ∠BOC) - ∠BOD=1/2(∠AOB + ∠COD + 2∠BOD) - ∠BOD=1/2(∠AOB + ∠COD)=1/2×(80°+50°)=65°。