《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版》

1. 小亮在做“计算$(5x^{3}+2x^{4}y-3xy^{2})+(x^{3}+3xy^{2}+y^{3})-(6x^{3}-x^{2}y+2y^{2})$的值，其中$x=2,y=-1$”这道题时，把“$x=2$”错看成“$x=-2$”，但他计算的结果却是正确的.请说明其原因.

答案： 1.解：原式$=5x^{3}+2x^{2}y - 3xy^{2}+x^{3}+3xy^{2}+y^{3}-6x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{3}=2x^{2}y+y^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{3}$．化简结果中只含有$x$的偶次项，且$2$和$-2$互为相反数，$\therefore x = 2$和$x=-2$的计算结果相同．$\therefore$他计算的结果也是正确的．

2. 在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择$a$的一个值，求$5a^{3}-(a^{2}-3a+3a^{3})+(a^{2}-a-2a^{3})-2a+2035$的值.
甲说：“当$a=0$时，原式$=2035$.”
乙说：“当$a=1$时，原式$=2035$.”
丙说：“当$a$为任何一个有理数时，原式$=2035$.”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由.

答案： 2.解：这三位同学的说法正确．理由如下：原式$=5a^{3}-a^{2}+3a - 3a^{3}+a^{2}-a - 2a^{2}-2a + 2035=2035$，故这三位同学的说法正确．

3. 如图1，这是某年11月的月历，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为$A,B,C,D,E$.则这五个数的和能被5整除吗？为什么？
(1)甲同学设$A=x$，请通过计算得出结论.
(2)乙同学说自己设$C=x$更简单，请你也来试一试.
(3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：
代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.

答案： 3.解：
(1)设$A=x$，则$B=x + 1$，$C=x + 8$，$D=x + 15$，$E=x + 16$．$\therefore A + B + C + D+E=x+x + 1+x + 8+x + 15+x + 16=5x + 40=5(x + 8)$．$\because 5(x + 8)$是$5$的倍数，$\therefore 5(x + 8)$能被$5$整除．$\therefore$这五个数的和能被$5$整除．
(2)设$C=x$，则$D=x + 7$，$E=x + 8$，$B=x - 7$，$A=x - 8$．$\therefore A + B + C + D+E=x - 8+x - 7+x + x + 7+x + 8=5x$．$\because 5x$能被$5$整除，$\therefore$这五个数的和能被$5$整除．
(3)设$C=x$，则$D=x + 7$，$E=x + 8$，$B=x - 7$，$A=x - 8$．$\therefore A - 2B+3C + 4D - 6E=x - 8-2(x - 7)+3x + 4(x + 7)-6(x + 8)=x - 8-2x + 14+3x + 4x + 28-6x - 48=-14$．$\therefore$代数式$A - 2B+3C + 4D - 6E$的值是定值，为$-14$．