《2025年课时提优计划作业本七年级数学上册苏科版》

11. (12分)如图,已知线段AB,请按要求解决下列问题.
(1)用直尺和圆规作图：延长线段AB到点C,使BC= AB；反向延长线段AB到点D,使AD= AC.
(2)若AB= 2cm.
①求CD的长；
②设P是线段BD的中点,求线段CP的长.

答案：
(1)如图,点 C 和点 D 即为所求.
(2)①因为 AB=2cm,BC=AB,所以 AC=2AB=2×2=4(cm).又因为 AD=AC,所以 CD=2AC=8cm.
②因为 BD=AD+AB=4+2=6(cm),P 是线段 BD 的中点,所以 BP=3cm,所以 CP=CB+BP=2+3=5(cm).

12. (14分)如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)写出图中∠AOF的余角：__∠AOC、∠FOE、∠BOD__.
(2)如果∠EOF= 1/5∠AOD,求∠EOF的度数.因为 OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠AOF+∠EOF=90°,∠AOF+∠AOC=90°,所以∠AOC=∠EOF,因为∠AOC+∠AOD=180°,∠EOF= $\frac{1}{5}$∠AOD,所以 $\frac{1}{5}$∠AOD+∠AOD=180°,所以 $\frac{6}{5}$∠AOD=180°,所以∠AOD=150°,所以∠EOF=∠AOC=30°.

答案：
(1)∠AOC、∠FOE、∠BOD 解析:因为 OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠AOF+∠AOC=90°,∠AOF+∠FOE=90°,所以∠AOC 与∠FOE 是∠AOF 的余角.因为∠AOC=∠BOD,所以∠BOD+∠AOF=90°,所以∠BOD 与∠AOF 互为余角.所以∠AOF 的余角为∠AOC、∠FOE、∠BOD.
(2)因为 OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠AOF+∠EOF=90°,∠AOF+∠AOC=90°,所以∠AOC=∠EOF,因为∠AOC+∠AOD=180°,∠EOF= $\frac{1}{5}$∠AOD,所以 $\frac{1}{5}$∠AOD+∠AOD=180°,所以 $\frac{6}{5}$∠AOD=180°,所以∠AOD=150°,所以∠EOF=∠AOC=30°.

13. (14分)如图,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC= 30°,将一直角三角板(∠M= 30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. 如图2,经过t s后,OM恰好平分∠BOC,求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC,并说明理由.
(2)在(1)的基础上,如果三角板在转动的同时,射线OC也绕点O以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由.

答案：
(1)旋转前∠MOC=90° - ∠AOC=90° - 30°=60°.当 OM 平分∠BOC 时,∠MOC= $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{180° - ∠AOC}{2}$= $\frac{180° - 30°}{2}$=75°,则 3t=75° - 60°,解得 t=5.结论:ON 平分∠AOC,理由如下:因为∠CON=90° - ∠MOC,∠AOC=180° - ∠BOC=2(90° - ∠MOC),所以∠AOC=2∠CON,所以 ON 平分∠AOC.
(2)经过 5s 或 45s OC 平分∠MON.理由如下:∠MOC=∠AOM - ∠AOC=(3t+90°) - (30°+6t)=60° - 3t.若 OC 平分∠MON,则∠MOC= $\frac{1}{2}$∠MON,所以 60° - 3t=45°,解得 t=5;当 OC 停止后,∠MOC=∠AOM - ∠AOC=(3t+90°) - 180°=3t - 90°,若 OC 平分∠MON,则 3t - 90°=45°,解得 t=45,此时 OC 旋转角度为 180°,OM 旋转角度为 3×45+90=225°＜360°,符合题意.综上所述,满足条件的 t 的值为 5 或 45.