《2025年南通小题课时作业本七年级数学上册苏科版》

22. (10分)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分$ \angle BOD $,OF平分$ \angle BOC $,$ \angle2 : \angle1 = 4 : 1 $.
(1)求$ \angle AOF $的大小；
(2)判断OE与OF的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)因为OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
所以∠1=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠2=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC.
又因为∠BOC+∠BOD=180°，∠2∶∠1=4∶1，所以∠1=180°×$\frac{1}{1+1+4+4}$=18°，∠2=180°×$\frac{4}{1+1+4+4}$=72°.
所以∠AOC=∠BOD=2∠1=36°，
所以∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°.
(2)OE⊥OF，理由如下：
因为OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
所以∠1=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠2=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC.
又因为∠BOC+∠BOD=180°，
所以∠BOE+∠BOF=$\frac{1}{2}$×(∠BOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
所以OE⊥OF.

23. (10分)已知线段$ AB = 12 $,线段$ CD = 6 $,线段CD在直线AB上运动(点A在点B的左侧,点C在点D的左侧).
(1)M,N分别是线段AC,BD的中点,若线段$ BC = 4 $,求线段MN的长度；
(2)当CD运动到点D与点B重合时,P是线段AB延长线上的一点,下列两个结论：①$ \frac{PA + PB}{PC} $是定值；②$ \frac{PA - PB}{PC} $是定值,请作出正确的选择,并求出其定值.

答案：
(1)如图1，因为M，N分别为线段AC，BD的中点，
所以AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(CD+BC)=5，
所以MN=AD−AM−DN=12+4+6−8−5=9；
如图2，因为M，N分别为线段AC，BD的中点，
所以AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$(AB−BC)=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(CD−BC)=1，
所以MN=AD−AM−DN=12+6−4−4−1=9.
综上，线段MN的长度为9.
(2)①正确，$\frac{PA+PB}{PC}$=2，理由如下：
由题意，得当CD运动到点D与点B重合时，AC=BC，
所以$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{(PC+AC)+(PC−CB)}{PC}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，
所以$\frac{PA+PB}{PC}$是定值2.

24. (10分)如图,直线AB,CD相交于点O.
(1)如图1,若$ \angle AOC = 30^\circ $,则$ \angle BOC = $______,$ \angle BOD = $______；
(2)如图2,将直线CD绕点O旋转,请根据下表所给数据将表格补充完整；
| $ \angle AOC $ | $ 60^\circ $ | $ 90^\circ $ | $ x^\circ $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ \angle BOD $ | ______ | ______ | ______ |

(3)如图3,过点O分别作$ \angle AOC 与 \angle AOD $的平分线OE,OF,若$ \angle BOD 的大小为 \alpha $,请用含$ \alpha 的代数式表示 \angle COF $的大小.

答案：
(1)150° 30°
(2)60° 90° x°
(3)因为∠AOC=∠BOD=α，OE平分∠AOC，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$α.
因为OF平分∠AOD，
所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，
所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠AOD)=90°，
所以∠COF=∠EOC+∠EOF=90°+$\frac{1}{2}$α.