《2025年南通小题课时作业本七年级数学上册苏科版》

26. (12分)(2025南京鼓楼期末)小敏和小华对一些四位数$\overline {abcd}$($a$,$b$,$c$,$d$均为不超过9的正整数)进行了观察、猜想,请你帮助他们一起完成探究.
(1)这个四位数可用含$a$,$b$,$c$,$d$的代数式表示为______；
(2)小敏尝试将一些四位数倒排后,再与原数相加,发现和都为11的倍数.
如：$1234+4321= 5555= 505×11$,$4258+8524= 12782= 1162×11$.
你认为上述结论对于一般的$(\overline {abcd}+\overline {dcba})$也成立吗？请说明理由；
(3)小华猜想：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.
例如：判断491678能不能被11整除.
奇位数字的和$9+6+8= 23$,偶位数字的和$4+1+7= 12$,$23-12= 11$,因此,491678能被11整除.这种方法叫奇偶位差法.
请你帮小华证明猜想：对于一个四位数$\overline {abcd}$($a$,$b$,$c$,$d$均为不超过9的正整数),若满足$(b+d)-(a+c)= 22$,则四位数$\overline {abcd}$能被11整除.

答案：
(1)$1000a+100b+10c+d$；
(2)成立.理由如下：设四位数为$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$，所以$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$，所以$\overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d=11×(91a+10b+10c+91d)$，所以它们的和能被11整除；
(3)因为$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=a·(1001-1)+b·(99+1)+c·(11-1)+d=11×(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$，且$(b+d)-(a+c)=22=11×2$，所以$\overline{abcd}=11×(91a+9b+c)+11×2=11×(91a+9b+c+2)$，所以四位数$\overline{abcd}$能被11整除.