《2025年1课3练单元达标测试七年级数学上册人教版》

1 (2024·山东淄博淄川区期末)如果a是大于1的正整数,那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和.例如$2^{3}= 3+5$,$3^{3}= 7+9+11$,$4^{3}= 13+15+17+19$,…,已知$a^{3}$改写成的若干个连续奇数和的式子中,有一个奇数是2021,则a的值是(A).
A.45
B.46
C.52
D.53

答案： A [解析]
∵2³=3+5,3³=7+9+11,4³=13+15+17+19,5³=21+23+25+27+29,…,
∴a³改写成的连续奇数和的式子的第一个数是a(a-1)+1,且共有a个奇数.
∵45×(45-1)+1=1981,46×(46-1)+1=2071,
∴奇数2021是45的立方改写成的连续奇数和的式子里的一个奇数,
∴a=45.

2 计算:$1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+\dots +2017+(-2018)+(-2019)+2020+2021+(-2022)+(-2023)+2024+2025= $2025.

答案： 2025 [解析]1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+2017+(-2018)+(-2019)+2020+2021+(-2022)+(-2023)+2024+2025=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+…+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022-2023+2024)+2025=0×506+2025=2025.

(1)填空:-3$-1= -\left|-9+2\right|+3$;
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a,请你直接写出此时的等式.
设满足上面特征的等式最左边的数为a,则此时的等式为a-1=-|a-6+2|+3.

答案：
(1)-3
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a,则此时的等式为a-1=-|a-6+2|+3.

4 探究:
$2^{2}-2^{1}= 2×2^{1}-1×2^{1}= 2^{1}$;
$2^{3}-2^{2}= 2×2^{2}-1×2^{2}=2^{2}$;
$2^{4}-2^{3}= 2×2^{3}-1×2^{3}=2^{3}$;…
(1)请仔细观察,写出第5个等式;
(2)请你找规律,写出第n个等式;
(3)计算:$2^{1}+2^{2}+\dots +2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}+2^{2023}-2^{2024}$.
(1)$2^{6}-2^{5}=2×2^{5}-1×2^{5}=2^{5}$
(2)$2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-1×2^{n}=2^{n}$
(3)$-2$

答案： 探究：2²-2¹=2×2¹-1×2¹=2¹；2³-2²=2×2²-1×2²=2²；2⁴-2³=2×2³-1×2³=2³.
(1)2⁶-2⁵=2×2⁵-1×2⁵=2⁵.
(2)2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2×2ⁿ-1×2ⁿ=2ⁿ.
(3)2¹+2²+…+2²⁰²⁰+2²⁰²¹+2²⁰²²+2²⁰²³-2²⁰²⁴=2¹+2²+…+2²⁰²⁰+2²⁰²¹+2²⁰²²+(2²⁰²³-2²⁰²⁴)=2¹+2²+…+2²⁰²²-2²⁰²³=2¹+2²+…+2²⁰²¹+(2²⁰²²-2²⁰²³)=2¹-2²=-2. 归纳总结 本题的规律是2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2×2ⁿ-1×2ⁿ=2ⁿ.

5 观察下面一列数:-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,…,将这列数排成下列形式:
-1
2 -3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
…

按照上述规律排下去,那么第30行从左边数第5个数是(A).
A.846
B.-846
C.847
D.-847

答案： A [解析]由题图可知,第一行有1个数,第二行有3个数,第三行有5个数,…,则第n行有(2n-1)个数,奇数行最后一个数是负数,偶数行最后一个数是正数,每一行最后一个数的绝对值是这一行对应数字的平方,这组数是负正负正依次出现的,故第29行最后一个数是-29²=-841,故第30行前五个数为842,-843,844,-845,846,即第30行从左边数第5个数是846.故选A.

6 (2023·江苏常州期末)利用如图所示的图形,可求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}$的值是$\frac{31}{32}$.

答案： 31/32 [解析]由题图,得1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+1/2⁵=1-1/2⁵=1-1/32=31/32.