《2025年亮点给力提优课时作业本七年级数学上册苏科版》

10. (2025·江苏连云港期末)如图,将边长分别为1,2,3,5,…的若干正方形按一定的规律拼成不同的长方形,依次记作长方形①、长方形②、长方形③、长方形④、…按此规律,解答下列问题:
(1)长方形ⓝ中,正方形的个数是______n+1;
(2)求长方形⑥的周长.
解：长方形①中正方形边长为1,1，长=1+1=2，宽=1，周长=2×(2+1)=6；
长方形②中正方形边长为1,1,2，长=1+2=3，宽=1+1=2，周长=2×(3+2)=10；
长方形③中正方形边长为1,1,2,3，长=2+3=5，宽=1+3=4，周长=2×(5+4)=18；
长方形④中正方形边长为1,1,2,3,5，长=3+5=8，宽=2+5=7，周长=2×(8+7)=30；
规律：后一个长方形长=前一个长方形长+宽，宽=前一个长方形长；
长方形⑤长=8+7=15，宽=8，周长=2×(15+8)=46；
长方形⑥长=15+8=23，宽=15，周长=2×(23+15)=76。
答：长方形⑥的周长为76。

答案：
(1)n+1
(2)解：长方形①中正方形边长为1,1，长=1+1=2，宽=1，周长=2×(2+1)=6；
长方形②中正方形边长为1,1,2，长=1+2=3，宽=1+1=2，周长=2×(3+2)=10；
长方形③中正方形边长为1,1,2,3，长=2+3=5，宽=1+3=4，周长=2×(5+4)=18；
长方形④中正方形边长为1,1,2,3,5，长=3+5=8，宽=2+5=7，周长=2×(8+7)=30；
规律：后一个长方形长=前一个长方形长+宽，宽=前一个长方形长；
长方形⑤长=8+7=15，宽=8，周长=2×(15+8)=46；
长方形⑥长=15+8=23，宽=15，周长=2×(23+15)=76。
答：长方形⑥的周长为76。

11. 新趋势传统文化1905年清朝学堂的课本中用“$ \frac { \text { 五 } } { \text { 甲 } ^ { 2 } } \top \frac { \text { 三 } } { \text { 丙 } } \perp \frac { \text { 四 } } { \text { 甲 } \text { 乙 } ^ { 2 } } $”来表示代数式$ \frac { a ^ { 2 } } { 5 } - \frac { c } { 3 } + \frac { a b ^ { 2 } } { 4 } $,则“$ \frac { \text { 三 } } { \text { 甲 } \text { 乙 } ^ { 2 } } \perp \frac { \text { 二 } } { \text { 甲 } ^ { 2 } \text { 乙 } } $”表示的代数式为(A)
A.$ \frac { a b ^ { 2 } } { 3 } + \frac { a ^ { 2 } b } { 2 } $
B.$ \frac { a b ^ { 2 } } { 3 } - \frac { a ^ { 2 } b } { 2 } $
C.$ \frac { 3 } { a b ^ { 2 } } + \frac { 2 } { a ^ { 2 } b } $
D.$ \frac { 3 } { a b ^ { 2 } } - \frac { 2 } { a ^ { 2 } b } $

答案： 解：由题意知，“五”对应5，“甲”对应a，“丙”对应c，“乙”对应b；“$\frac{\text{五}}{\text{甲}^2}$”表示$\frac{a^2}{5}$，即“$\frac{\text{数字}}{\text{文字组合}}$”表示“$\frac{\text{文字组合对应的代数式}}{\text{数字}}$”；“T”表示“$-$”，“⊥”表示“$+$”。
则“$\frac{\text{三}}{\text{甲乙}^2}$”表示$\frac{ab^2}{3}$，“$\frac{\text{二}}{\text{甲}^2\text{乙}}$”表示$\frac{a^2b}{2}$，“⊥”表示“$+$”。
所以“$\frac{\text{三}}{\text{甲乙}^2}\perp\frac{\text{二}}{\text{甲}^2\text{乙}}$”表示的代数式为$\frac{ab^2}{3}+\frac{a^2b}{2}$。
答案：A

12. 观察下列数表:

根据数表所反映的规律,猜想第6行第6列的数为60,第n行第n列的数为2n²-2n.

答案： 1. 先分析第$n$行第$n$列数的规律：
第$1$行第$1$列的数是$0 = 2×(1 - 1)$；
第$2$行第$2$列的数是$4 = 2×(2 - 1)+2×(2 - 1)=2×(2 - 1)×2=2×(2 - 1)×2 = 2×(2×2 - 2)=2×(2^{2}-2)$；
第$3$行第$3$列的数是$8 = 2×(3 - 1)+2×(3 - 1)+2×(3 - 1)=2×(3 - 1)×3=2×(3^{2}-3)$；
第$4$行第$4$列的数是$14 = 2×(4 - 1)+2×(4 - 1)+2×(4 - 1)+2×(4 - 1)=2×(4 - 1)×4=2×(4^{2}-4)$；
一般地，对于第$n$行第$n$列的数$a_{n}$，根据上述规律可得$a_{n}=2(n^{2}-n)$。
2. 再求第$6$行第$6$列的数：
当$n = 6$时，把$n = 6$代入$a_{n}=2(n^{2}-n)$中。
则$a_{6}=2×(6^{2}-6)$。
先计算$6^{2}-6=36 - 6=30$，再计算$2×30 = 60$。
所以第$6$行第$6$列的数为$60$，第$n$行第$n$列的数为$2n^{2}-2n$。
故答案依次为：$60$；$2n^{2}-2n$。

13. 新趋势推导探究为了美化城市,某商场在门前的空地上用花盆按如图所示的方式搭正方形花坛.
(1)填写下表:
|层数|1|2|3|
|----|----|----|----|
|花盆数|4|8|12|
(2)按这个规律搭下去,搭第6层正方形,需要多少盆花?
解：由规律可知第n层花盆数为4n，当n=6时，4×6=24（盆）
(3)如果某一层上有36盆花,那么这是第几层?
解：设这是第n层，4n=36，解得n=9
(4)你找到这个规律了吗?请用含n(n表示正方形的层数)的代数式把这个规律表示出来.
解：第n层需要花盆数的代数式为4n

答案： （1）
|层数|1|2|3|
|----|----|----|----|
|花盆数|4|8|12|
（2）解：由规律可知第n层花盆数为4n，当n=6时，4×6=24（盆）
（3）解：设这是第n层，4n=36，解得n=9
（4）解：第n层需要花盆数的代数式为4n