《2025年亮点给力提优课时作业本七年级数学上册苏科版》

11. 如图,$ C $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ AC ＜ BC $,$ M $,$ N $ 分别是 $ AB $,$ BC $ 的中点. 若 $ AC = 8 $,$ NB = 5 $,则线段 $ MN $ 的长为______4.

答案： 【解析】：本题可根据线段中点的性质，先求出$BC$的长度，再求出$AB$的长度，进而求出$BM$的长度，最后根据$MN=BM - BN$求出$MN$的长度。
步骤一：根据中点性质求出$BC$的长度
已知$N$是$BC$的中点，根据线段中点的定义：若点$N$是线段$BC$的中点，则$BN = CN=\frac{1}{2}BC$。
因为$NB = 5$，所以$BC = 2NB = 2×5 = 10$。
步骤二：求出$AB$的长度
已知$AC = 8$，由线段的和差关系可知$AB=AC + BC$，将$AC = 8$，$BC = 10$代入可得$AB = 8 + 10 = 18$。
步骤三：根据中点性质求出$BM$的长度
因为$M$是$AB$的中点，根据线段中点的定义：若点$M$是线段$AB$的中点，则$AM = BM=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 18$代入可得$BM=\frac{1}{2}×18 = 9$。
步骤四：求出$MN$的长度
由线段的和差关系可知$MN = BM - BN$，将$BM = 9$，$BN = 5$代入可得$MN = 9 - 5 = 4$。
【答案】：$4$

12. 如图,已知线段 $ AB:BC:CD = 2:3:4 $,$ E $,$ F $ 分别是 $ AB $,$ CD $ 的中点,且 $ EF = 12\mathrm{cm} $,则线段 $ AD = $______18$\mathrm{cm}$.

答案： 【解析】：本题可根据线段的比例关系设未知数，再结合中点的性质表示出相关线段的长度，最后根据$EF$的长度列出方程求解，进而求出线段$AD$的长度。
步骤一：设未知数
已知线段$AB:BC:CD = 2:3:4$，可设$AB = 2x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CD = 4x\mathrm{cm}$。
步骤二：根据中点性质表示出$EB$和$CF$的长度
因为$E$是$AB$的中点，根据中点的定义：若点$E$为线段$AB$的中点，则$EB=\frac{1}{2}AB$，所以$EB=\frac{1}{2}×2x = x\mathrm{cm}$。
同理，因为$F$是$CD$的中点，所以$CF=\frac{1}{2}×4x = 2x\mathrm{cm}$。
步骤三：根据线段关系表示出$EF$的长度
由图可知$EF = EB + BC + CF$，将$EB = x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CF = 2x\mathrm{cm}$代入可得$EF = x + 3x + 2x = 6x\mathrm{cm}$。
步骤四：求解$x$的值
已知$EF = 12\mathrm{cm}$，即$6x = 12$，两边同时除以$6$，可得$x = 2$。
步骤五：计算线段$AD$的长度
因为$AD = AB + BC + CD$，将$AB = 2x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CD = 4x\mathrm{cm}$代入可得$AD = 2x + 3x + 4x = 9x\mathrm{cm}$。
把$x = 2$代入$9x$，可得$AD = 9×2 = 18\mathrm{cm}$。
【答案】：$18$

13. (2025·江苏苏州期末)把一根绳子对折成一条线段 $ AB $,$ P $ 是 $ AB $ 上一点,且 $ AP = \frac{1}{2}PB $,从点 $ P $ 处把绳子剪断. 若剪断后的各段绳子中最长的为 $ 40\mathrm{cm} $,则这根绳子的原长为________$\mathrm{cm}$.
120或60

答案： 1. 首先设$AP = x\mathrm{cm}$，则$PB = 2x\mathrm{cm}$：
情况一：当含有线段$PB$的绳子最长时：
因为绳子对折，所以剪断后$PB$的$2$倍最长，即$2×2x = 40$。
解方程$4x = 40$，得$x = 10$。
那么绳子原长为$2(AP + PB)=2(x + 2x)=6x$，把$x = 10$代入，原长$6×10 = 60\mathrm{cm}$。
情况二：当含有线段$2AP$的绳子最长时：
则$2×2AP = 40$，即$4x = 40$，得$x = 10$（这里$AP=x$）。
此时绳子原长为$2(AP + PB)=2(x + 2x)=6x$，但是这种情况不成立，因为$PB = 2x$，$2AP = 2x$，$PB$和$2AP$长度相等，不符合最长为$40\mathrm{cm}$（假设最长是$2AP$，实际$PB$和$2AP$一样长），所以舍去。
情况三：当含有线段$2PB$的绳子最长时（前面第一种情况已考虑）。
所以这根绳子的原长为$60\mathrm{cm}$或$120\mathrm{cm}$。
重新分析：
设$AP=x$，$PB = 2x$。
①若对折后$A$为端点：
剪断后三段绳子长度分别为$2AP = 2x$，$2AP = 2x$，$2PB=4x$。
因为最长的为$40\mathrm{cm}$，所以$4x = 40$，解得$x = 10$，绳子原长$2(2x + 4x)=12x$，原长$12×10 = 120\mathrm{cm}$。
②若对折后$B$为端点：
剪断后三段绳子长度分别为$2PB = 4x$，$2PB = 4x$，$2AP = 2x$。
因为最长的为$40\mathrm{cm}$，所以$4x = 40$，解得$x = 10$，绳子原长$2(4x+2x)=12x$（错误，应该是$2(AP + PB)$，这里$AP=x$，$PB = 2x$，原长$2(x + 2x)×2$（因为对折），当$2PB$最长时，$PB = 20$，$AP = 10$，原长$2×(10 + 20)×2=120$；当$2AP$最长时，$AP = 20$，$PB = 40$，原长$2×(20 + 40)=120$（错误）。
正确的：
设$AP=x$，$PB = 2x$。
若$2PB$是最长段：$2PB = 40$，$PB = 20$，$AP = 10$，原长$2(AP + PB)×2$（对折）$=2×(10 + 20)×2=120$。
若$2AP$是最长段：$2AP = 40$，$AP = 20$，$PB = 40$，原长$2(AP + PB)=2×(20 + 40)=120$（错误，因为对折，原长应该是$2(AP + PB)×2$，当$2AP$最长时，$AP = 20$，$PB = 40$，原长$2×(20 + 40)=120$不对，重新来：
设绳子对折后$AB$，$AP=x$，$PB = 2x$。
绳子剪断后：
若$A$是对折点：
绳子三段长度为$2AP$，$2AP$，$2PB$，即$2x$，$2x$，$4x$，$4x = 40$，$x = 10$，原长$2(2x + 4x)=12x=120$。
若$B$是对折点：
绳子三段长度为$2PB$，$2PB$，$2AP$，即$4x$，$4x$，$2x$，$4x = 40$，$x = 10$，原长$2(4x + 2x)=12x = 120$（错误，原长是$2(AP + PB)×2$，当$B$是对折点，$AP=x$，$PB = 2x$，原长$2(x + 2x)×2$，当$2PB$最长，$PB = 20$，$AP = 10$，原长$2×(10 + 20)×2=120$；当$2AP$最长（不可能，因为$PB = 2x$，$2AP = 2x$，$PB$和$2AP$一样长）。
若对折后$AB$中间对折（$A$、$B$都不是端点）：
设绳子原长为$l$，对折后$AB=\frac{l}{2}$，$AP=\frac{1}{3}AB$，$PB=\frac{2}{3}AB$。
剪断后：
若$2PB$最长，$2PB = 40$，$PB = 20$，$AB = 30$，原长$l = 60$。
若$2AP$最长（$2AP=2×\frac{1}{3}AB$，$PB=\frac{2}{3}AB$，$2AP\lt PB$，不可能）。
所以这根绳子的原长为$60$或$120\mathrm{cm}$。
综上，答案为$60$或$120$。

14. 如图,$ C $ 为线段 $ AB $ 上一点,点 $ D $ 在线段 $ AC $ 上,且 $ AD = \frac{2}{3}AC $,$ E $ 为 $ BC $ 的中点.
(1) 若 $ AC = 6 $,$ BE = 1 $,求线段 $ AB $,$ DE $ 的长；
(2) 试说明：$ AB + BD = 4DE $.

答案： 【解析】：本题主要考查线段的长短计算，利用线段的中点性质以及线段的和差关系进行求解，同时通过设未知数，根据已知条件建立等式来证明线段之间的关系。
（1）求线段$AB$和$DE$的长：
已知$E$为$BC$的中点，$BE = 1$，根据中点的性质，可得$BC = 2BE = 2×1 = 2$。
又已知$AC = 6$，根据线段的和差关系$AB = AC + BC$，可得$AB = 6 + 2 = 8$。
因为$AD=\frac{2}{3}AC$，$AC = 6$，所以$AD=\frac{2}{3}×6 = 4$。
那么$DC = AC - AD = 6 - 4 = 2$。
再根据线段的和差关系$DE = DC + CE$，而$CE = BE = 1$，所以$DE = 2 + 1 = 3$。
（2）说明$AB + BD = 4DE$：
设$AC = 3x$，因为$AD=\frac{2}{3}AC$，所以$AD = 2x$，则$DC = AC - AD = 3x - 2x = x$。
因为$E$为$BC$的中点，设$BC = 2y$，则$CE = BE = y$。
$AB = AC + BC = 3x + 2y$。
$BD = AB - AD = 3x + 2y - 2x = x + 2y$。
$DE = DC + CE = x + y$。
计算$AB + BD$：
$AB + BD=(3x + 2y)+(x + 2y)=4x + 4y$。
计算$4DE$：
$4DE = 4(x + y)=4x + 4y$。
所以$AB + BD = 4DE$。
【答案】：
(1)$AB = 8$，$DE = 3$；
(2)证明过程如上述。

15. 如图,某客运公司所运营的公路 $ AB $ 段有四个车站,依次是 $ A $,$ C $,$ D $,$ B $. 现计划在 $ AB $ 段建一个加油站 $ M $,要求使 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 站离加油站 $ M $ 的总路程最短,则加油站 $ M $ 的位置在(B)
A.$ A $,$ C $ 两站之间
B.$ C $,$ D $ 两站之间
C.$ B $,$ D $ 两站之间
D.无法确定

答案： 解：设加油站$ M $在直线$ AB $上，$ A $、$ B $、$ C $、$ D $四点位置如图所示，依次排列为$ A $、$ C $、$ D $、$ B $。
总路程$ S = MA + MB + MC + MD $。
因为$ MA + MB \geq AB $（当$ M $在$ A $、$ B $之间时取等号），$ MC + MD \geq CD $（当$ M $在$ C $、$ D $之间时取等号）。
要使$ S $最小，需同时满足$ MA + MB = AB $且$ MC + MD = CD $，此时$ M $必须在$ C $、$ D $之间（包含端点$ C $、$ D $）。
所以加油站$ M $的位置在$ C $、$ D $两站之间。
答案：B

16. 如图,数轴上 $ O $,$ A $ 两点之间的距离为 4,一动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,按以下规律跳动：第 1 次跳动到 $ AO $ 的中点 $ A_1 $ 处,第 2 次从点 $ A_1 $ 跳动到 $ A_1O $ 的中点 $ A_2 $ 处,第 3 次从点 $ A_2 $ 跳动到 $ A_2O $ 的中点 $ A_3 $ 处,按照这样的规律继续跳动到点 $ A_4 $,$ A_5 $,$ A_6 $,…,$ A_n(n \geq 3 $,$ n $ 是整数)处,那么线段 $ A_nA $ 的长为$ 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $.

答案： 解：设数轴上点 $ O $ 表示的数为 $ 0 $，
因为 $ O $，$ A $ 两点之间的距离为 $ 4 $，且点 $ A $ 在点 $ O $ 右侧，
所以点 $ A $ 表示的数为 $ 4 $。
第 $ 1 $ 次跳动到 $ AO $ 的中点 $ A_1 $，
$ A_1 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 4}{2} = 2 = \frac{4}{2^1} $；
第 $ 2 $ 次跳动到 $ A_1O $ 的中点 $ A_2 $，
$ A_2 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 2}{2} = 1 = \frac{4}{2^2} $；
第 $ 3 $ 次跳动到 $ A_2O $ 的中点 $ A_3 $，
$ A_3 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{2^3} $；
……
依此类推，第 $ n $ 次跳动后，点 $ A_n $ 表示的数为 $ \frac{4}{2^n} $。
线段 $ A_nA $ 的长为点 $ A $ 与点 $ A_n $ 表示的数之差的绝对值，
即 $ |4 - \frac{4}{2^n}| = 4 - \frac{4}{2^n} = 4\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $。
故线段 $ A_nA $ 的长为 $ 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $。
答案：$ 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $

17. 新趋势 推导探究 (2025·江苏常州期末)如图,$ O $ 为原点,在数轴上点 $ A $ 表示的数为 $ a $,点 $ B $ 表示的数为 $ b $,且 $ a $,$ b $ 满足 $ |a + 2| + (3a + b)^2 = 0 $.
(1) 填空：$ a = $-2,$ b = $6；
(2) 点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动的时间为 $ t\mathrm{s} $.
① 当点 $ P $ 运动到线段 $ OB $ 上,且 $ OP = 2PB $ 时,求 $ t $ 的值；
② 先取 $ OB $ 的中点 $ E $,当点 $ P $ 在线段 $ OE $ 上时,再取 $ AP $ 的中点 $ F $,则 $ \frac{AB - OP}{EF} $ 的值是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请用含 $ t $ 的代数式表示.

(2)①$t=6$；②是定值，定值为$2$

答案： 【解析】：本题主要考查了数轴上点的位置关系、绝对值和平方的非负性、动点问题以及线段中点的性质。
（1）已知$\vert a+2\vert+(3a+b)^2=0$。
因为绝对值和平方都具有非负性，即$\vert a+2\vert\geq0$，$(3a+b)^2\geq0$。
要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数必须都为$0$，
可得到方程组$\begin{cases}a+2=0,\\3a+b=0.\end{cases}$
由$a+2=0$，可得$a=-2$。
将$a=-2$代入$3a+b=0$，即$3×(-2)+b=0$，
$-6+b=0$，解得$b=6$。
（2）①由（1）可知$A$点表示的数为$-2$，$B$点表示的数为$6$，
所以$OB=6$，$OA=2$，$AB=6-(-2)=8$。
点$P$从点$A$出发，以每秒$1$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为$t\mathrm{s}$，
则点$P$表示的数为$-2+t$。
因为点$P$在线段$OB$上，所以$0\leq -2+t\leq 6$，解得$2\leq t\leq 8$。
已知$OP = 2PB$，$OP=\vert -2+t\vert=t - 2$（因为$2\leq t\leq 8$，所以$-2+t\geq0$），$PB=6-(-2+t)=8 - t$。
根据$OP = 2PB$可得$t - 2=2×(8 - t)$。
展开括号得$t - 2=16 - 2t$。
移项得$t+2t=16 + 2$。
合并同类项得$3t=18$，解得$t=6$。
②因为$E$是$OB$的中点，$OB=6$，
所以$E$点表示的数为$\frac{0 + 6}{2}=3$。
点$P$表示的数为$-2+t$，$0\leq -2+t\leq 3$，解得$2\leq t\leq 5$。
$AP=t$（点$P$运动的速度为每秒$1$个单位长度，运动时间为$t\mathrm{s}$），
因为$F$是$AP$的中点，所以$AF=\frac{1}{2}t$，
则点$F$表示的数为$-2+\frac{1}{2}t$。
$OP=\vert -2+t\vert=t - 2$（因为$2\leq t\leq 5$，所以$-2+t\geq0$），
$EF=3-(-2+\frac{1}{2}t)=5-\frac{1}{2}t$。
将$AB=8$，$OP=t - 2$，$EF=5-\frac{1}{2}t$代入$\frac{AB - OP}{EF}$可得：
$\frac{8-(t - 2)}{5-\frac{1}{2}t}=\frac{10 - t}{5-\frac{1}{2}t}=\frac{2(5 - \frac{1}{2}t)}{5-\frac{1}{2}t}=2$。
所以$\frac{AB - OP}{EF}$的值是定值，定值为$2$。
【答案】：
(1)$a=-2$，$b=6$；
(2)①$t=6$；②是定值，定值为$2$。