《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 已知O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使$∠AOC= 70^{\circ }$。
(1)如图①,若OD平分$∠AOC$,求$∠DOB$的度数。
(2)射线OM从OA出发,绕点O以每秒$6^{\circ }$的速度逆时针旋转,同时,射线ON从OC出发绕点O以每秒$4^{\circ }$的速度逆时针旋转,OM与ON同时出发(当ON首次与OB重合时,两条射线都停止运动),设运动的时间为t秒。
①如图②,在整个运动过程中,当$∠BON= 2∠COM$时,求t的值。
②如图③,OP平分$∠AOM$,OQ平分$∠BON$,是否存在t的值,使OC平分$∠POQ$？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由。

答案：
1.解:
(1)因为∠AOC=70°,OD平分∠AOC,
所以∠AOD=35°,所以∠DOB=180°−∠AOD=145°.
(2)因为∠AOC=70°,
所以∠BOC=180°−70°=110°.
①70°÷6°=$\frac{35}{3}$(秒),110°÷4°=$\frac{55}{2}$(秒).
当0＜t≤$\frac{35}{3}$时,如答图①,

∠BON=110°−4°t,∠COM=70°−6°t.
因为∠BON=2∠COM,
所以110°−4°t=2(70°−6°t),解得t=$\frac{15}{4}$;
当$\frac{35}{3}$＜t≤$\frac{55}{2}$时,如答图②,

∠BON=110°−4°t,∠COM=6°t−70°.
因为∠BON=2∠COM,
所以110°−4°t=2(6°t−70°),解得t=$\frac{125}{8}$.
综上可知,t的值为$\frac{15}{4}$或$\frac{125}{8}$.
②存在.因为OP平分∠AOM,OQ平分∠BON,
∠AOM=6°t,∠BON=110°−4°t,
所以∠AOP=3°t,∠BOQ=∠NOQ=55°−2°t,
所以∠COP=70°−3°t,∠COQ=4°t+55°−2°t=55°+2°t.
因为OC平分∠POQ,所以∠COP=∠COQ,
即70°−3°t=55°+2°t,解得t=3.
所以当t的值为3时,OC平分∠POQ.

2. 如图,$∠AOB$内部有一射线OC,$OC⊥OA$,$∠AOC与∠BOC的度数比为3:2$。射线OM从OA出发,以$10^{\circ }/s$的速度绕点O顺时针旋转,同时射线ON从OC出发,以$20^{\circ }/s$的速度绕点O顺时针旋转,当射线ON与射线OB重合后,立即以原速逆时针旋转,当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转(即ON在OC与OB之间来回摆动),当OM与OC重合时,OM与ON都停止旋转。旋转过程中设旋转的时间为t s。
(1)当$t= 1$时,$∠MON= $100°。
(2)当t为何值时,OC恰好是$∠MON$的平分线？
解:因为OC⊥OA,所以∠AOC=90°.
因为∠AOC与∠BOC的度数比为3:2,
所以∠BOC=60°,所以∠AOB=150°.
ON从OC旋转到OB(或从OB旋转到OC)需要60÷20=3(s),OM从OA旋转到OC需要90÷10=9(s).
当0≤t≤3时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°t,
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=20°t,解得t=3.
当3＜t≤6时,∠COM=90°−10°t,∠CON=60°−20°(t−3),
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=60°−20°(t−3),
解得t=3(舍去).
当6＜t≤9时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°(t−6),
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=20°(t−6),解得t=7.
综上所述,当t的值为3或7时,OC恰好是∠MON的平分线.
(3)在旋转的过程中,作$∠CON$的平分线OP,是否存在某个时间段,使得$∠MOP$的度数保持不变？如果存在,求出$∠MOP$的度数,并写出对应的t的取值范围；如果不存在,请说明理由。
解:存在某个时间段,使得∠MOP的度数保持不变.
当0≤t≤3时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°t,
因为OP平分∠CON,所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=10°t,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°,
所以0≤t≤3时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=90°.
当3＜t≤6时,∠COM=90°−10°t,∠CON=60°−20°(t−3)=120°−20°t,
因为OP平分∠CON,
所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=60°−10°t,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+60°−10°t=150°−20°t,所以3＜t≤6时,∠MOP的度数随t的变化而变化.
当6＜t≤9时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°(t−6)=20°t−120°,
因为OP平分∠CON,
所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=10°t−60°,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t−60°=30°,
所以6＜t≤9时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=30°.
综上所述,当0≤t≤3时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=90°;当6＜t≤9时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=30°.

答案： 2.
(1)100
(2)解:因为OC⊥OA,所以∠AOC=90°.
因为∠AOC与∠BOC的度数比为3:2,
所以∠BOC=60°,所以∠AOB=150°.
ON从OC旋转到OB(或从OB旋转到OC)需要60÷20=3(s),OM从OA旋转到OC需要90÷10=9(s).
当0≤t≤3时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°t,
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=20°t,解得t=3.
当3＜t≤6时,∠COM=90°−10°t,∠CON=60°−20°(t−3),
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=60°−20°(t−3),
解得t=3(舍去).
当6＜t≤9时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°(t−6),
因为OC恰好是∠MON的平分线,
所以90°−10°t=20°(t−6),解得t=7.
综上所述,当t的值为3或7时,OC恰好是∠MON的平分线.
(3)解:存在某个时间段,使得∠MOP的度数保持不变.
当0≤t≤3时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°t,
因为OP平分∠CON,所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=10°t,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°,
所以0≤t≤3时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=90°.
当3＜t≤6时,∠COM=90°−10°t,∠CON=60°−20°(t−3)=120°−20°t,
因为OP平分∠CON,
所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=60°−10°t,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+60°−10°t=150°−20°t,所以3＜t≤6时,∠MOP的度数随t的变化而变化.
当6＜t≤9时,∠COM=90°−10°t,∠CON=20°(t−6)=20°t−120°,
因为OP平分∠CON,
所以∠COP=$\frac{1}{2}$∠CON=10°t−60°,
所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t−60°=30°,
所以6＜t≤9时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=30°.
综上所述,当0≤t≤3时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=90°;当6＜t≤9时,∠MOP的度数保持不变,∠MOP=30°.