《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版盐城专版》

2. 如图,数轴上的三个点 $ A $,$ B $,$ C $ 表示的数分别是 $ - 7 $,$ - 1 $,$ 1 $。若动点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 出发,以 $ 4 $ 个单位长度/秒和 $ 3 $ 个单位长度/秒的速度向左匀速运动,动点 $ R $ 从点 $ C $ 出发,以 $ 1 $ 个单位长度/秒的速度向右匀速运动,点 $ P $,$ Q $,$ R $ 同时出发,设运动时间为 $ t $ 秒。
(1) 记点 $ P $ 与点 $ Q $ 之间的距离为 $ d _ { 1 } $,点 $ Q $ 与点 $ R $ 之间的距离为 $ d _ { 2 } $,请用含 $ t $ 的代数式表示 $ d _ { 1 } $ 和 $ d _ { 2 } $,并判断是否存在一个常数 $ m $,使 $ m d _ { 1 } - d _ { 2 } $ 的值不随 $ t $ 的变化而变化。若存在,求出 $ m $ 的值；若不存在,请说明理由。
(2) 若动点 $ Q $ 到达点 $ A $ 后,速度变为 $ 7 $ 个单位长度/秒,继续向左运动,当 $ t $ 为何值时,点 $ P $ 与点 $ Q $ 之间的距离为 $ 3 $ 个单位长度？

答案： 解:
(1)点 P 与点 Q 之间的距离d₁=t+6,
点 Q 与点 R 之间的距离d₂=4t+2.
存在md₁-d₂=m(t+6)-(4t+2)=(m-4)t+6m-2,
因为md₁-d₂的值不随t的变化而变化,
所以m-4=0,解得m=4.
(2)动点 Q 到达点 A 时,t=6÷3=2,
当点 P 在点 Q 左侧,且点 P 与点 Q 之间的距离为 3 个单位长度时,4t-7(t-2)=3,解得t=11/3;
当点 P 在点 Q 右侧,且点 P 与点 Q 之间的距离为 3 个单位长度时,7(t-2)-4t=3,解得t=17/3.
答:当 t 的值为11/3或17/3时,点 P 与点 Q 之间的距离为 3 个单位长度.

3. 数轴上有 $ A $,$ B $,$ C $ 三点,给出如下定义：若其中一个点到其他两个点的距离恰好满足 $ 2 $ 倍的数量关系,则称该点是其他两个点的“关联点”。
(1) 如图,数轴上 $ A $,$ B $,$ C $ 三点所表示的数分别为 $ 1 $,$ 3 $,$ 4 $,点 $ B $ 到点 $ A $ 的距离 $ AB = $2,点 $ B $ 到点 $ C $ 的距离 $ BC = $1,因为 $ AB $ 是 $ BC $ 的 $ 2 $ 倍,所以称点 $ B $ 是点 $ A $,$ C $ 的“关联点”。
(2) 若点 $ A $ 表示的数是 $ - 2 $,点 $ B $ 表示的数是 $ 1 $,数 $ - 1 $,$ 2 $,$ 4 $,$ 6 $ 所对应的点分别是 $ C _ { 1 } $,$ C _ { 2 } $,$ C _ { 3 } $,$ C _ { 4 } $,其中是点 $ A $,$ B $ 的“关联点”的是点C₁,C₃。
(3) 点 $ A $ 表示的数是 $ - 10 $,点 $ B $ 表示的数是 $ 15 $,$ P $ 是数轴上的一个动点。
① 若点 $ P $ 在点 $ B $ 的左侧,且点 $ P $ 是点 $ A $,$ B $ 的“关联点”,求此时点 $ P $ 表示的数；
② 若点 $ P $ 在点 $ B $ 的右侧,且点 $ P $,$ A $,$ B $ 中,有一个点恰好是其他两个点的“关联点”,求此时点 $ P $ 表示的数。

(3)解:①设点 P 表示的数为x.
当点 P 在点 A 的左侧时,则有2PA=PB,
即2(-10-x)=15-x,解得x=-35;
当点 P 在点 A,B 之间时,则有2PA=PB 或 PA=2PB,
即2(x+10)=15-x或x+10=2(15-x),解得x=-5/3或x=20/3,所以点 P 表示的数为-35或-5/3或20/3.
②设点 P 表示的数是x.
若点 P 是点 A,B 的"关联点",则有2PB=PA,
即2(x-15)=x+10,解得x=40;
若点 B 是点 A,P 的"关联点",则有2AB=PB 或 AB=2PB,
即2×(15+10)=x-15或15+10=2(x-15),
解得x=65或x=55/2;
若点 A 是点 B,P 的"关联点",则有2AB=AP,
即2×(15+10)=x+10,解得x=40.
综上可得,点 P 表示的数为 40 或 65 或55/2.

答案：
(1)2 1
(2)点C₁,C₃
(3)解:①设点 P 表示的数为x.
当点 P 在点 A 的左侧时,则有2PA=PB,
即2(-10-x)=15-x,解得x=-35;
当点 P 在点 A,B 之间时,则有2PA=PB 或 PA=2PB,
即2(x+10)=15-x或x+10=2(15-x),解得x=-5/3或x=20/3,所以点 P 表示的数为-35或-5/3或20/3.
②设点 P 表示的数是x.
若点 P 是点 A,B 的"关联点",则有2PB=PA,
即2(x-15)=x+10,解得x=40;
若点 B 是点 A,P 的"关联点",则有2AB=PB 或 AB=2PB,
即2×(15+10)=x-15或15+10=2(x-15),
解得x=65或x=55/2;
若点 A 是点 B,P 的"关联点",则有2AB=AP,
即2×(15+10)=x+10,解得x=40.
综上可得,点 P 表示的数为 40 或 65 或55/2.