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1. 黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:
①任选一个三位数,要求个、十、百位上的数字各不相同(计算中 0 可放在百位),把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如,若选的数为 729,则 $ 972 - 279 = 693 $),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.该“卡普雷卡尔黑洞数”为
②任意找一个能够被 3 整除的正整数,先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次(如 $ a \cdot a \cdot a $),所得的值再相加,得到一个新数;然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次,所得的值再相加……如此重复运算下去,就能得到一个固定的数 $ T = $
①任选一个三位数,要求个、十、百位上的数字各不相同(计算中 0 可放在百位),把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如,若选的数为 729,则 $ 972 - 279 = 693 $),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.该“卡普雷卡尔黑洞数”为
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;②任意找一个能够被 3 整除的正整数,先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次(如 $ a \cdot a \cdot a $),所得的值再相加,得到一个新数;然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次,所得的值再相加……如此重复运算下去,就能得到一个固定的数 $ T = $
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,我们称它为数字黑洞,$ T $ 为何具有如此魅力,通过认真的观察、分析,你一定能发现它的奥秘!
答案：
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2. 观察下列各式: $ (ab)^2 = a^2b^2 $, $ (ab)^3 = a^3b^3 $, $ (ab)^4 = a^4b^4 $……
解答下列问题:
(1) 验证: $ (4 × 0.25)^{100} = $
(2) 通过上述验证,归纳得出: $ (ab)^n = $
(3) 请应用上述性质计算: $ (-0.125)^{2025} × 2^{2024} × 4^{2024} $.
解答下列问题:
(1) 验证: $ (4 × 0.25)^{100} = $
1
, $ 4^{100} × 0.25^{100} = $1
;(2) 通过上述验证,归纳得出: $ (ab)^n = $
$a^{n}b^{n}$
, $ (abc)^n = $$a^{n}b^{n}c^{n}$
;(3) 请应用上述性质计算: $ (-0.125)^{2025} × 2^{2024} × 4^{2024} $.
解:原式$=(-0.125)^{2024}×2^{2024}×4^{2024}×(-0.125)=$ $(-0.125×2×4)^{2024}×(-0.125)=(-1)^{2024}×(-0.125)=$ $1×(-0.125)=-0.125.$
答案：
(1)1 1
(2)$a^{n}b^{n}$ $a^{n}b^{n}c^{n}$
(3)解:原式$=(-0.125)^{2024}×2^{2024}×4^{2024}×(-0.125)=$ $(-0.125×2×4)^{2024}×(-0.125)=(-1)^{2024}×(-0.125)=$ $1×(-0.125)=-0.125.$
(1)1 1
(2)$a^{n}b^{n}$ $a^{n}b^{n}c^{n}$
(3)解:原式$=(-0.125)^{2024}×2^{2024}×4^{2024}×(-0.125)=$ $(-0.125×2×4)^{2024}×(-0.125)=(-1)^{2024}×(-0.125)=$ $1×(-0.125)=-0.125.$
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