《2025年中学生世界六年级数学上册沪教版五四制》

20. 程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题：
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,
小僧三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是：有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人？

答案： 解：设大和尚有$x$人，则小和尚有$(100 - x)$人。
根据题意可列方程：$3x+\dfrac{1}{3}(100 - x)=100$
方程两边同时乘以3得：$9x+(100 - x)=300$
去括号得：$9x + 100 - x=300$
合并同类项得：$8x + 100=300$
移项得：$8x=300 - 100$
计算得：$8x=200$
解得：$x = 25$
小和尚人数：$100 - 25=75$（人）
答：大和尚有25人，小和尚有75人。

21. 定义：对于一个有理数,我们把[x]称作x的对称数.
如果x≥0,那么[x]= x-2；如果x＜0,那么[x]= x+2.例如：[1]= 1-2= -1,[-2]= -2+2= 0.
(1)求$[\frac{3}{2}]$,[-1]的值；
(2)已知有理数a＞0,b＜0,且满足[a]= [b],试求代数式$(b-a)^3-2a+2b$的值；
(3)当x≥0时,解方程：[2x]+[x+1]= 1.

答案：
(1)
解析：根据题目中给出的对称数的定义，当$x \geq 0$时，$[x] = x - 2$；当$x ＜ 0$时，$[x] = x + 2$。
对于$[\frac{3}{2}]$，因为$\frac{3}{2} \geq 0$，所以$[\frac{3}{2}] = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$。
对于$[-1]$，因为$-1 ＜ 0$，所以$[-1] = -1 + 2 = 1$。
答案：$[\frac{3}{2}] = -\frac{1}{2}$，$[-1] = 1$。
(2)
解析：由题意知$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，且$[a] = [b]$。
根据对称数的定义，$[a] = a - 2$，$[b] = b + 2$。
因此，$a - 2 = b + 2$，解得$a - b = 4$。
代入代数式$(b - a)^3 - 2a + 2b$，得$(b - a)^3 - 2(a - b) = (-4)^3 - 2 × 4 = -64 - 8 = -72$。
答案：$-72$。
(3)
解析：当$x \geq 0$时，根据对称数的定义，$[2x] = 2x - 2$，$[x + 1] = x + 1 - 2 = x - 1$。
由题意得方程$[2x] + [x + 1] = 1$，即$2x - 2 + x - 1 = 1$。
解方程得$3x = 4$，$x = \frac{4}{3}$。
答案：$x = \frac{4}{3}$。