《2025年中学生世界六年级数学上册沪教版五四制》

18. 如图①,有一个边长为8厘米的等边三角形.在此基础上,我们将通过以下步骤作出一个新的图形.
步骤①:线段的两个端点分别为A、B,将线段AB的三等分点设为P、Q.
步骤②:在图形的外侧,放入等边三角形PQR,并删除线段PQ.
按照这样的步骤,图②是图①对每一边进行了一次操作以后所得的新图形,图③是在图①的基础上对每一边进行了两次操作所得的新图形.根据以上规律,请回答下列问题:
(1)对每一边操作3次后,新图形有多少条边?
(2)对每一边操作3次后,新图形周长是最初等边三角形周长的几分之几?
(3)对每一边操作4次后,新图形的周长是多少厘米?

答案：
(1) 解：图①边数 $ n_0 = 3 $
操作1次（图②）：每条边变为4条，边数 $ n_1 = 3×4 = 12 $
操作2次（图③）：边数 $ n_2 = 12×4 = 48 $
操作3次：边数 $ n_3 = 48×4 = 192 $
答：192条
(2) 解：原三角形边长8cm，周长 $ C_0 = 3×8 = 24 $cm
每次操作后每条边变为原长的 $ \frac{4}{3} $（原边1条拆为4条，每条长为原边的 $ \frac{1}{3} $，总长 $ 4×\frac{1}{3} = \frac{4}{3} $）
操作3次后周长 $ C_3 = 24×(\frac{4}{3})^3 = 24×\frac{64}{27} = \frac{512}{9} $cm
$ \frac{C_3}{C_0} = \frac{64}{27} $
答：$ \frac{64}{27} $
(3) 解：操作4次后周长 $ C_4 = 24×(\frac{4}{3})^4 = 24×\frac{256}{81} = \frac{2048}{27} $cm
答：$ \frac{2048}{27} $厘米