《2025年中学生世界六年级数学上册沪教版五四制》

5. 如图,两个形状、大小完全相同的含有 30°,60°的三角板如图①放置,PA,PB 与直线 MN 重合,且三角板 PAC、三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转.
(1)试说明:∠DPC= 90°.
(2)如图②,若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转一定角度,PF 平分∠APD,PE 平分∠CPD,求∠EPF.
(3)如图③,若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转,转速为 3°/s,同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转,转速为 2°/s.问:在两个三角形旋转过程中(PC 转到与 PM 重合时,两个三角板都停止转动),∠CPD/∠BPN的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,说明理由.

答案：
(1) 解：由题意得∠CPA=60°，∠DPB=30°。因为PA、PB与直线MN重合，所以∠APB=180°。∠DPC=∠APB - ∠CPA - ∠DPB=180° - 60° - 30°=90°。
(2) 解：设∠CPA=α，∠APD=β。因为PF平分∠APD，所以∠FPD=β/2。∠CPD=∠CPA + ∠APD=α + β。因为PE平分∠CPD，所以∠EPD=(α + β)/2。∠EPF=∠EPD - ∠FPD=(α + β)/2 - β/2=α/2。又因为∠CPA=60°，所以α=60°，∠EPF=60°/2=30°。
(3) 解：不变，值为1。设旋转时间为t秒。PA旋转角度为3t°，PB旋转角度为2t°。∠BPN=180° - 2t°。∠CPN=60° + 3t°，∠DPN=180° - 30° - 2t°=150° - 2t°。∠CPD=∠DPN - ∠CPN=150° - 2t° - (60° + 3t°)=90° - 5t°。∠BPN=180° - 2t°，∠CPD/∠BPN=(90° - 5t°)/(180° - 2t°)=1。

6. 如图,∠AOB= 50°,作射线 OC,它是射线 OA 绕着点 O 逆时针旋转,且当∠AOC:∠BOC= 2:3 时所得,求∠BOC 的度数.
(1)画出直线 OA 与 OB,根据“射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 360°”的过程,分类画出不同的示意图,分类的依据是:OC 在直线 OA 与 OB 分成的2个区域;
(2)设∠AOC= (2x)°,那么∠BOC= (3x)°;
(3)∠BOC 的度数为30°或150°.

答案： 解析：本题主要考查了角的计算以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意分情况讨论，当$OC$在$\angle AOB$内部时和当$OC$在$\angle AOB$外部时，然后根据角的和差关系以及$\angle AOC:\angle BOC = 2:3$列出方程求解。
（1）因为$\angle AOB = 50^{\circ}$，射线$OC$是射线$OA$绕着点$O$逆时针旋转得到，
所以$OC$在直线$OA$与$OB$分成的$2$个区域，
故答案为$2$。
（2）设$\angle AOC = (2x)^{\circ}$，因为$\angle AOC:\angle BOC = 2:3$，
所以$\angle BOC = (3x)^{\circ}$，
故答案为$(3x)^{\circ}$。
（3）当$OC$在$\angle AOB$内部时，
$\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB$，
即$2x + 3x = 50$，
$5x = 50$，
$x = 10$，
所以$\angle BOC = 3x = 3×10 = 30^{\circ}$；
当$OC$在$\angle AOB$外部时，
$\angle AOC - \angle BOC = \angle AOB$，
即$3x - 2x = 50$，
$x = 50$，
所以$\angle BOC = 3x = 3×50 = 150^{\circ}$。
故答案为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。