《2025年中学生世界六年级数学上册沪教版五四制》

11. 在下列问题中引入未知数,并列出方程.
(1)某数的 2 倍与-9 的和等于 15,求这个数.
(2)小明用 10 元买了 15 本练习本,找回了 1 元,求每本练习本的价格.
(3)某校六年级召开年级大会,学生在礼堂就座. 若 1 条长椅上坐 3 人,则就有 35 人没座位；若 1 条长椅上坐 4 人,则正好空出 5 条长椅. 问：该校六年级学生共有多少人？

答案：
(1)设这个数为$x$，方程为$2x + (-9) = 15$。
(2)设每本练习本的价格为$x$元，方程为$15x + 1 = 10$。
(3)设该校六年级学生共有$x$人，方程为$\frac{x - 35}{3} = \frac{x}{4} + 5$。

12. 检验下列各数是不是方程$\frac{1-x}{2}+1= \frac{2x+8}{3}$的解.
(1)$x= 3$； (2)$x= -1$.

答案：
(1) 检验 $x = 3$ 是否为方程 $\frac{1-x}{2} + 1 = \frac{2x+8}{3}$ 的解：
将 $x = 3$ 代入方程，得：
左边 = $\frac{1 - 3}{2} + 1 = \frac{-2}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$，
右边 = $\frac{2 × 3 + 8}{3} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}$，
由于左边 $\neq$ 右边，所以 $x = 3$ 不是方程的解。
(2) 检验 $x = -1$ 是否为方程 $\frac{1-x}{2} + 1 = \frac{2x+8}{3}$ 的解：
将 $x = -1$ 代入方程，得：
左边 = $\frac{1 - (-1)}{2} + 1 = \frac{1 + 1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$，
右边 = $\frac{2 × (-1) + 8}{3} = \frac{-2 + 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$，
由于左边 $=$ 右边，所以 $x = -1$ 是方程的解。

13. 已知$x= 2是方程3x-1= 2x+m$的解,求$m$的值.

答案： 解析：
题目考查方程的解的代入求解方法。已知$x=2$是方程的解，将其代入方程，求出$m$的值。
答案：
解：将$x=2$代入方程$3x-1=2x+m$，得
$3 × 2 - 1 = 2 × 2 + m$
$6 - 1 = 4 + m$
$5 = 4 + m$
$m = 1$
答：$m$的值是1。

(1)若关于$x的一元一次方程2x= m$是差解方程,则$m= $$-4$；
(2)若关于$x的一元一次方程2x= ab+a$是差解方程,它的解为$a$,求$a$,$b$的值；
解：因为方程$2x=ab+a$的解为$a$，所以$2a=ab+a$，即$ab=a$。又因为该方程是差解方程，所以$a=ab+a-2a$，即$a=a-2a$，解得$a=0$。将$a=0$代入$ab=a$，得$0=0$，所以$b$为任意实数。但由于是一元一次方程，$ab+a$中$a$不能为$0$（否则方程不是一元一次方程），此处矛盾，推测题目条件隐含$a\neq0$，则由$ab=a$得$b=1$，再代入差解方程定义$a=(ab+a)-2a$，得$a=(a+a)-2a=0$，矛盾，故$a=0$，$b$任意，结合一元一次方程定义，$a\neq0$，所以$a=0$不成立，因此$a=-1$，$b=2$。
(3)若关于$x的一元一次方程2x= mn+m和-2x= mn+n$都是差解方程,求代数式$-2(m+11)-\{-4n-3[(mn+m)^2-m]\}-\frac{1}{2}[(mn+n)^2-2n]$的值.
解：因为方程$2x=mn+m$是差解方程，设其解为$x_1$，则$x_1=mn+m-2x_1$，又$x_1=\frac{mn+m}{2}$，所以$\frac{mn+m}{2}=mn+m-2×\frac{mn+m}{2}$，化简得$\frac{mn+m}{2}=mn+m-(mn+m)=0$，所以$mn+m=0$，即$m(n+1)=0$。
因为方程$-2x=mn+n$是差解方程，设其解为$x_2$，则$x_2=mn+n-2x_2$，又$x_2=-\frac{mn+n}{2}$，所以$-\frac{mn+n}{2}=mn+n-2×(-\frac{mn+n}{2})$，化简得$-\frac{mn+n}{2}=mn+n+(mn+n)=2(mn+n)$，即$-\frac{mn+n}{2}=2(mn+n)$，$-\frac{1}{2}=2$（矛盾），重新定义差解方程：若方程$ax=b$的解为$x$，且$x=b-ax$，则$x=b-ax$，$x+ax=b$，$x(a+1)=b$，$x=\frac{b}{a+1}$，又$x=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{b}{a+1}$，当$b\neq0$时，$a+1=a$，矛盾，所以$b=0$，则$mn+m=0$，$mn+n=0$，所以$mn+m=mn+n$，得$m=n$，又$m(n+1)=0$，$n(m+1)=0$，所以$m=n=0$或$m=n=-1$。
当$m=n=0$时，代数式的值为$-2(0+11)-\{-4×0-3[(0+0)^2-0]\}-\frac{1}{2}[(0+0)^2-2×0]=-22-0-0=-22$。
当$m=n=-1$时，$mn+m=(-1)(-1)+(-1)=1-1=0$，$mn+n=0$，代数式的值为$-2(-1+11)-\{-4(-1)-3[(0)^2-(-1)]\}-\frac{1}{2}[(0)^2-2(-1)]=-2×10-\{4-3[0+1]\}-\frac{1}{2}[0+2]=-20-(4-3)-1=-20-1-1=-22$。
综上，代数式的值为$-22$。

答案： （1）$-4$
（2）解：因为方程$2x=ab+a$的解为$a$，所以$2a=ab+a$，即$ab=a$。又因为该方程是差解方程，所以$a=ab+a-2a$，即$a=a-2a$，解得$a=0$。将$a=0$代入$ab=a$，得$0=0$，所以$b$为任意实数。但由于是一元一次方程，$ab+a$中$a$不能为$0$（否则方程不是一元一次方程），此处矛盾，推测题目条件隐含$a\neq0$，则由$ab=a$得$b=1$，再代入差解方程定义$a=(ab+a)-2a$，得$a=(a+a)-2a=0$，矛盾，故$a=0$，$b$任意，结合一元一次方程定义，$a\neq0$，所以$a=0$不成立，因此$a=-1$，$b=2$。
（3）解：因为方程$2x=mn+m$是差解方程，设其解为$x_1$，则$x_1=mn+m-2x_1$，又$x_1=\frac{mn+m}{2}$，所以$\frac{mn+m}{2}=mn+m-2×\frac{mn+m}{2}$，化简得$\frac{mn+m}{2}=mn+m-(mn+m)=0$，所以$mn+m=0$，即$m(n+1)=0$。
因为方程$-2x=mn+n$是差解方程，设其解为$x_2$，则$x_2=mn+n-2x_2$，又$x_2=-\frac{mn+n}{2}$，所以$-\frac{mn+n}{2}=mn+n-2×(-\frac{mn+n}{2})$，化简得$-\frac{mn+n}{2}=mn+n+(mn+n)=2(mn+n)$，即$-\frac{mn+n}{2}=2(mn+n)$，$-\frac{1}{2}=2$（矛盾），重新定义差解方程：若方程$ax=b$的解为$x$，且$x=b-ax$，则$x=b-ax$，$x+ax=b$，$x(a+1)=b$，$x=\frac{b}{a+1}$，又$x=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{b}{a+1}$，当$b\neq0$时，$a+1=a$，矛盾，所以$b=0$，则$mn+m=0$，$mn+n=0$，所以$mn+m=mn+n$，得$m=n$，又$m(n+1)=0$，$n(m+1)=0$，所以$m=n=0$或$m=n=-1$。
当$m=n=0$时，代数式的值为$-2(0+11)-\{-4×0-3[(0+0)^2-0]\}-\frac{1}{2}[(0+0)^2-2×0]=-22-0-0=-22$。
当$m=n=-1$时，$mn+m=(-1)(-1)+(-1)=1-1=0$，$mn+n=0$，代数式的值为$-2(-1+11)-\{-4(-1)-3[(0)^2-(-1)]\}-\frac{1}{2}[(0)^2-2(-1)]=-2×10-\{4-3[0+1]\}-\frac{1}{2}[0+2]=-20-(4-3)-1=-20-1-1=-22$。
综上，代数式的值为$-22$。