《2025年华东师大版一课一练六年级数学上册沪教版五四制》

13 如图①,有一个边长为9厘米的等边三角形。在此基础上,我们将通过以下步骤作出一个新的图形。
步骤①：线段的两个端点分别为A、B,将线段AB的三等分点设为P、Q。
步骤②：在图形的外侧,放入等边三角形PQR,并删除线段PQ。
按照这样的步骤,图②是图①对每一边进行了一次操作以后所得的新图形,图③是在图①的基础上对每一边进行了两次操作所得的新图形。根据以上规律,请回答下列问题：
(1)对每一边操作3次后,新图形有多少条边？
(2)对每一边操作3次后,新图形周长是最初等边三角形周长的几分之几？
(3)对每一边操作4次后,新图形的周长是多少厘米？

答案：
(1) 解：初始边数 $ n_0 = 3 $。每次操作后，每条边变为 4 条边，边数规律为 $ n_k = 3 × 4^k $。操作 3 次后，边数 $ n_3 = 3 × 4^3 = 3 × 64 = 192 $。
(2) 解：初始周长 $ C_0 = 9 × 3 = 27 $ 厘米。每次操作后，每条边长度变为原来的 $ \frac{1}{3} $，周长变为原来的 $ \frac{4}{3} $，周长规律为 $ C_k = 27 × \left( \frac{4}{3} \right)^k $。操作 3 次后，周长是最初的 $ \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} $。
(3) 解：操作 4 次后，周长 $ C_4 = 27 × \left( \frac{4}{3} \right)^4 = 27 × \frac{256}{81} = \frac{256}{3} $ 厘米。
答案：
(1) 192；
(2) $ \frac{64}{27} $；
(3) $ \frac{256}{3} $ 厘米。