《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

1 [中]设a是不为零的有理数,那么$x= \frac{a}{|a|}$的不同取值共有(B)
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

答案： B 【解析】由题意知$a\neq0$，即$|a|\neq0$. 当$a＞0$时，$|a|=a$，则$x=\frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1$；当$a＜0$时，$|a|=-a$，则$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$. 所以$x=\frac{a}{|a|}$的不同取值有2种. 故选B.

如图,M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且$MN= NP= PR= 1$。数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间。若$|a|+|b|= 2$,则原点是(C)
A.M或N
B.M或R
C.N或P
D.P或R

答案： C 【解析】因为$MN=NP=PR=1$，所以数$a$，$b$对应的点之间的距离大于1且小于3. 因为$|a|+|b|=2$，当原点在点M处时，$|b|＞2$，当原点在点R处时，$|a|＞2$，所以点M与点R都不是原点，故原点只能是N或P. 故选C.

3 [中]已知零件的标准直径是100mm,超过标准直径的数量记作正数,不足标准直径的数量记作负数,检验员抽查了五件样品,检查结果如下：
|序号|1|2|3|4|5|
|直径(mm)|+0.10|-0.15|+0.20|-0.05|+0.25|
(1)指出哪件样品的直径最符合要求；
(2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品,误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品,误差的绝对值超过0.22mm是废品,那么这五件样品分别属于哪类产品？

答案： 【解】
(1)第4件样品的直径最符合要求.
(2)因为$|+0.10|=0.10＜0.18$，$|-0.15|=0.15＜0.18$，$|-0.05|=0.05＜0.18$. 所以第1，2，4件样品是正品；因为$|+0.20|=0.20$，$0.18＜0.20＜0.22$，所以第3件样品为次品；因为$|+0.25|=0.25＞0.22$，所以第5件样品为废品.

4 [2025江苏苏州质检,较难]数轴上点A,B分别表示有理数a,b,AB表示A,B两点之间的距离,则$AB= |a-b|$。例如：数轴上表示数2和5的两点之间的距离为$|2-5|= 3$；数轴上表示数3和-1的两点之间的距离为$|3-(-1)|= 4$。又如：$|x+2|可以写成|x-(-2)|$,它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点之间的距离。
(1)和为定值$|x+2|+|x-3|$表示数轴上有理数x对应的点到-2和3对应的两点距离之和。请你利用数轴,写出所有符合条件的整数x,使得$|x+2|+|x-3|= 5$。
(2)偶数个绝对值之和最小①$|x+3|+|x-4|$的最小值是______,此时x的取值范围是______。
②代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$的最小值是______,此时x的取值范围是______。
(3)奇数个绝对值之和最小①$|x+6|+|x+3|+|x-2|$的最小值是______,此时x的值是______。
②$|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|$取最小值时x的值是______。

答案：
【解】
(1)$|x+2|+|x-3|=5$表示数轴上有理数x对应的点到-2和3对应的两点的距离之和为5，如图
(1). 因为表示-2和表示3的两点之间的距离是5，所以在-2和3之间(含-2和3)的整数均符合题意，所以所有符合条件的整数x为-2，-1，0，1，2，3.
(2)①因为$|x+3|+|x-4|=|x-(-3)|+|x-4|$，所以$|x+3|+|x-4|$表示数轴上有理数x对应的点到-3和4对应的两点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x，点A表示的数是-3，点B表示的数是4，则点P可能在点A的左边或点A和点B之间(含点A和点B)或点B的右边. 如图
(2)所示，当点P在点A的左边或点B的右边时，点P到A，B两点的距离之和均大于A，B两点间的距离；当点P在点A和点B之间(含点A和点B)时，点P到A，B两点的距离之和等于A，B两点间的距离，所以x在-3和4之间(含-3和4)，即$-3\leq x\leq4$，$|x+3|+|x-4|$的最小值为7. 故答案为7，$-3\leq x\leq4$. ②因为$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|=|x-(-7)|+|x-(-4)|+|x-2|+|x-5|$，所以x在-4和2之间(含-4和2)，即$-4\leq x\leq2$，代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$的最小值为18. 故答案为18，$-4\leq x\leq2$.
(3)①因为$|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x-(-6)|+|x-(-3)|+|x-2|$，所以$|x+6|+|x+3|+|x-2|$表示数轴上有理数x对应的点到-6，-3和2对应的三点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x，点A表示的数是-6，点B表示的数是-3，点C表示的数是2，如图
(3)所示，当点P在点B处时，P到A，B，C三点的距离之和等于A，C两点间的距离；当点P在除点B外的任意位置时，P到A，B，C三点的距离之和均大于A，C两点间的距离，所以当$x=-3$时，$|x+6|+|x+3|+|x-2|$有最小值，为8. 故答案为8，-3. ②因为$(1+617)÷2=309$，所以当$x=309$时，$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-617|$取得最小值. 故答案为309.