《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

一只小球落在数轴上的某点$P_{0}= a$处,第一次从$P_{0}$处向右跳1个单位到$P_{1}$处,第二次从$P_{1}$处向左跳2个单位到$P_{2}$处,第三次从$P_{2}$处向右跳3个单位到$P_{3}$处,第四次从$P_{3}$处向左跳4个单位到$P_{4}$处,….若小球按以上规律跳了$(2n+3)$次,则它落在数轴上的点$P_{2n+3}$处所表示的数是 (B)
A.$a+n$
B.$a+n+2$
C.$a+n-1$
D.$a+n+3$

答案： 1.B【解析】因为点P₀所表示的数是a,所以点P₁所表示的数是a+1,点P₂所表示的数是a+1-2=a-1,点P₃所表示的数是a-1+3=a+2,点P₄所表示的数是a+2-4=a-2,点P₅所表示的数是a-2+5=a+3,点P₆所表示的数是a+3-6=a-3,…,由上可得,当n为奇数时,点Pₙ表示的数为a+$\frac{n+1}{2}$;当n为偶数时,点Pₙ表示的数为a-$\frac{n}{2}$(n≥1).因为2n+3是奇数,所以P₂ₙ₊₃表示的数为a+$\frac{2n+4}{2}$=a+n+2.故选B.

有一组正整数:$a_{1},a_{2},...,a_{2024},a_{2025}$,从$a_{3}$开始,满足$a_{3}= |a_{1}-2a_{2}|,a_{4}= |a_{2}-2a_{3}|,a_{5}= |a_{3}-2a_{4}|,...,a_{2025}= |a_{2023}-2a_{2024}|$,当$a_{1}= m,a_{2}= 1(m≥3$,m为整数)时,$a_{2025}= $2023m-6068.

答案： 2.2023m-6068【解析】当a₁=m,a₂=1(m≥3,m为整数)时,a₃=m-2,a₄=2m-5,a₅=3m-8,a₆=4m-11,…,aₙ=(n-2)m-3n+7,所以a₂₀₂₅=(2025-2)m-3×2025+7=2023m-6068,故答案为2023m-6068.

3 [2024山西晋中期中,中]观察下列单项式:$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},...,-37x^{19},39x^{20},...$,写出第n个单项式,为了解这个问题,特提供下面的解题思路.
(1)这组单项式的系数依次为多少? 系数的绝对值的规律是什么?
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式是什么吗?
(4)请你根据猜想,写出第2024个和第2025个单项式.

答案： 3.【解】
(1)这组单项式的系数依次为-1,3,-5,7,…,-37,39,…,系数的绝对值的规律是从1开始的连续的奇数.
(2)这组单项式的次数依次为1,2,3,4,…,19,20,…,所以这组单项式的次数的规律是从1开始的连续的整数.
(3)根据上面的归纳,猜想出第n个单项式是(-1)ⁿ·(2n-1)xⁿ.
(4)当n=2024时,这个单项式是(-1)²⁰²⁴·(2×2024-1)x²⁰²⁴=4047x²⁰²⁴;当n=2025时,这个单项式是(-1)²⁰²⁵·(2×2025-1)x²⁰²⁵=-4049x²⁰²⁵.

4 [中]观察下列图形,第1个图形中有7个空心点,第2个图形中有11个空心点,第3个图形中有15个空心点,…,按此规律排列下去,第n个图形中有4n+3个空心点(用含n的式子表示).

答案： 4.(4n+3)【解析】因为第1个图形中空心点的个数为7=3+4=3+4×1,第2个图形中空心点的个数为11=3+4+4=3+4×2,第3个图形中空心点的个数为15=3+4+4+4=3+4×3,…,所以第n个图形中空心点的个数为4n+3.

(1)若把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有401个正方形.
(2)继续划分下去,第n次划分后图中共有4n+1个正方形.
(3)能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形? 如果能,请算出是第几次划分;如果不能,需说明理由.
不能.理由:令4n+1=2020,所以n=504.75.因为n不是整数,所以不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形.

答案： 5.【解】
(1)因为第1次划分可得5个正方形,第2次划分可得9个正方形,第3次划分可得13个正方形,…,所以第n次划分可得(4n+1)个正方形,所以第100次划分后,图中共有4×100+1=401(个)正方形.故答案为401.
(2)由
(1)得第n次划分后,图中共有(4n+1)个正方形.故答案为(4n+1).
(3)不能.理由:令4n+1=2020,所以n=504.75.因为n不是整数,所以不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形.