《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

1 [中]若一个多项式的每一项的次数都相等,则称该多项式为齐次多项式. 例如$2x^{3} - 3x^{2}y + y^{3}$是三次齐次多项式. 若$x^{m}y - 2x^{3}y^{2} + 5x^{2}y^{n} + 3xy^{4} + y^{5}$是齐次多项式,则$(2m - 3n)^{99}$等于(B)
A.1
B.-1
C.99
D.-99

答案： B 【解析】因为x^{m}y-2x³y²+5x²y^{n}+3xy⁴+y⁵是齐次多项式，所以m+1=5，2+n=5，解得m=4，n=3，所以(2m-3n)^{99}=-1.故选B.

已知整式$M$：$a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + … + a_{0}$,其中$a_{5}$是正整数,$a_{4}$,$a_{3}$,$a_{2}$,$a_{1}$,$a_{0}$是自然数,若$a_{5} + a_{0} = p$,$a_{4} + a_{3} + a_{2} + a_{1} = q$,则下列说法：①若$p = 1$,$q = 0$,则满足条件的整式$M$有且仅有 1 个；②若$p = q = 2$,则满足条件的整式$M$中有 6 个五次四项式；③若$p = 3$,$q = 1$,则满足条件的整式$M$共有 12 个,其中正确的个数是(D)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D 【解析】因为a₅是正整数，a₄，a₃，a₂，a₁，a₀是自然数，p=1，所以a₅+a₀=p=1，所以a₅=1，a₀=0.因为a₄+a₃+a₂+a₁=q=0，所以a₄=a₃=a₂=a₁=0，所以M只有1个，为x⁵，故①正确.因为p=q=2，所以a₅+a₀=p=2，a₄+a₃+a₂+a₁=q=2.因为要满足五次四项式，所以a₅=a₀=1，a₄，a₃，a₂，a₁中有两个为1，其余为0，所以M=x⁵+x⁴+x²+1或M=x⁵+x⁴+x³+1或M=x⁵+x³+x+1或M=x⁵+x⁴+x+1或M=x⁵+x³+x²+1或M=x⁵+x²+x+1，共6个，故②正确.因为a₅+a₀=p=3，a₄+a₃+a₂+a₁=q=1，所以当a₅=3，a₀=0，a₄，a₃，a₂，a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个；当a₅=2，a₀=1，a₄，a₃，a₂，a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个；当a₅=1，a₀=2，a₄，a₃，a₂，a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个，所以满足条件的整式M共有12个，故③正确.综上可知，正确的个数是3，故选D.

3 [中]若多项式$xy^{\vert m - n\vert} + (n - 2)x^{2}y^{2} + 1是关于x$,$y$的三次多项式,其中$m ＞ 0$,则$mn = $8.

答案： 8 【解析】因为多项式xy^{|m-n|}+(n-2)x²y²+1是关于x，y的三次多项式，所以n-2=0，1+|m-n|=3，所以n=2，|m-n|=2，所以m-2=2或2-m=2，所以m=4或m=0(舍去)，所以mn=8.故答案为8.

4 [2024 山西太原质检,中]已知多项式$a^{10} - 3a^{9}b + 5a^{8}b^{2} - 7a^{7}b^{3} + … + mb^{10}$.
(1)根据这个多项式的排列规律,你能确定这个多项式是几次几项式吗？
(2)最后一项的系数$m$的值为多少？
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？

答案： 【解】
(1)因为多项式a^{10}-3a⁹b+5a⁸b²-7a⁷b³+…+mb^{10}是按照a的降幂排列的，所以该多项式有11项，并且每一项的次数是10，所以该多项式是十次十一项式.
(2)因为多项式a^{10}-3a⁹b+5a⁸b²-7a⁷b³+…+mb^{10}有11项，所以每一项的系数分别是1，-3，5，-7，…，且偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，所以第n项的系数为(-1)^{n+1}(2n-1)，所以第十一项的系数为21，所以m=21，即最后一项的系数m的值为21.
(3)因为多项式a^{10}-3a⁹b+5a⁸b²-7a⁷b³+…+mb^{10}第n项的系数为(-1)^{n+1}(2n-1)，所以第七项的系数是(-1)^{7+1}×(2×7-1)=13，第八项的系数是(-1)^{8+1}×(2×8-1)=-15.因为多项式a^{10}-3a⁹b+5a⁸b²-7a⁷b³+…+mb^{10}按照a的降幂排列，且每一项的次数是10，所以第七项是13a⁴b⁶，第八项是-15a³b⁷.

(1)填空：$a = $-5,$b = $7,$A$,$B$两点之间的距离为12；
(2)有一动点$P从点A$出发,第 1 次向左运动 1 个单位长度,然后第 2 次在新的位置向右运动 2 个单位长度,第 3 次在此位置向左运动 3 个单位长度,…$$. 按照如此规律不断地左右运动,当第 2 023 次运动后,求点$P$所对应的有理数.
【解】根据题意，得-5-1+2-3+4-…-2021+2022-2023=-5+(-1+2)+(-3+4)+…+(-2021+2022)-2023=-5+$\frac{2022}{2}$×1-2023=-5+1011-2023=-1017.所以第2023次运动后，点P所对应的有理数为-1017.

答案： 【解】
(1)因为式子M=(a+5)x³+7x²-2x+5是关于x的二次多项式，且多项式的二次项系数为b，所以a+5=0，b=7，所以a=-5，所以A，B两点之间的距离为|7-(-5)|=12.故答案为-5，7，12.
(2)根据题意，得-5-1+2-3+4-…-2021+2022-2023=-5+(-1+2)+(-3+4)+…+(-2021+2022)-2023=-5+$\frac{2022}{2}$×1-2023=-5+1011-2023=-1017.所以第2023次运动后，点P所对应的有理数为-1017.

(1)试说明$f(a,b) = a^{2} - 2ab + b^{2}$是“对称多项式”.
因为f(a，b)=a²-2ab+b²，所以f(b，a)=b²-2ba+a²，所以f(a，b)=f(b，a)，所以f(a，b)=a²-2ab+b²是“对称多项式”.
(2)请写一个“对称多项式”：$f(a,b) = $a+b(不多于四项).
(3)如果$f_{1}(a,b)和f_{2}(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_{1}(a,b) + f_{2}(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定,请说明理由；如果不一定,请举例说明.
不一定.举例：f₁(a，b)=a+b，f₂(a，b)=-a-b都是“对称多项式”，而f₁(a，b)+f₂(a，b)=0，是单项式，不是多项式，所以f₁(a，b)和f₂(a，b)均为“对称多项式”，f₁(a，b)+f₂(a，b)不一定是“对称多项式”.

答案： 【解】
(1)因为f(a，b)=a²-2ab+b²，所以f(b，a)=b²-2ba+a²，所以f(a，b)=f(b，a)，所以f(a，b)=a²-2ab+b²是“对称多项式”.
(2)当f(a，b)=a+b时，f(b，a)=b+a=f(a，b)，所以f(a，b)=a+b是“对称多项式”.故答案为a+b(答案不唯一).
(3)不一定.举例：f₁(a，b)=a+b，f₂(a，b)=-a-b都是“对称多项式”，而f₁(a，b)+f₂(a，b)=0，是单项式，不是多项式，所以f₁(a，b)和f₂(a，b)均为“对称多项式”，f₁(a，b)+f₂(a，b)不一定是“对称多项式”.