《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

进位制的认识与探究
背景材料
进位制是一种记数方式,可以用有限的数字符号代表所有的数值.可使用数字符号的数目称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制.对于任意一个用n进位制表示的数,通常使用n个阿拉伯数字0~(n-1)进行计数,特点是逢n进一.现在我们通常用的是十进制数(十进制数不用标角标,其他要标角标)
素材1
十进制数$234= 2×10^{2}+3×10^{1}+4×10^{0}$,记作:234.
七进制数$(123)_{7}= 1×7^{2}+2×7^{1}+3×7^{0}$,记作:$(123)_{7}$.
各进制之间可以进行转化,如:七进制数转化成与其相等的十进制数,只要将七进制数的每个数字,依次乘7的相应正整数次幂,然后将这些乘积相加,就可得到与它相等的十进制数
素材2
将十进制数化为与其相等的七进制数,用十进制的数除以7,然后将商继续除以7,直到商为1,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可(十进制数化为二进制数同理).如:
素材3
二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同,不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,满十进一,而二进制的数位有两个数码0和1,满二进一.
二进制的四则运算规则如下:
加法:$0+0= 0,0+1= 1,1+0= 1,1+1= (10)_{2}$.
减法:$0-0= 0,1-0= 1,1-1= 0,(10)_{2}-1= 1$(同一数位不够减时,向高一位借1当2)
解决问题
任务1
探究不同进位制数之间的转换
(1)将七进制数$(243)_{7}$转化成十进制数为多少?
(2)将十进制数22转化成二进制数为多少?
(3)如果一个十进制两位数$\overline {xy}$,交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数,如果原数减去新数所得的差为18,那么我们称这样的数为“青春数”,问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数? 若存在,请求出这样的“青春数”;若不存在,请说明理由
任务2
探究进位制数的加法运算
(1)$(10110)_{2}+(1101)_{2}= $____;
(2)$(110101)_{2}-(11110)_{2}= $____

答案：
任务1:
(1)$243_{(7)}=2×7^{2}+4×7^{1}+3×7^{0}=129.$
(2)
　　
所以$22=10110_{(2)}.$
(3)存在.根据题意:$aaa_{(6)}=a×6^{2}+a×6^{1}+a×6^{0}=43a$.因为43a是一个十进制的两位数,所以$a=1$或$a=2$.当$a=1$时,原数为43,新数为34,则$43 - 34 = 9≠18$,不是“青春数”,不符合题意;当$a=2$时,原数为86,新数为68,则$86 - 68 = 18$,是“青春数”,符合题意.所以这样的“青春数”存在,这个“青春数”是86.
任务2:
(1)$10110_{(2)}+1101_{(2)}=100011_{(2)}$,故答案为$100011_{(2)}.$
(2)$110101_{(2)}-11110_{(2)}=10111_{(2)}$,故答案为$10111_{(2)}.$