《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

1 [2025 福建龙岩质检,中]规定一种运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,例如$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix} = 2×5 - 3×4 = -2$,则$\begin{vmatrix}(-1)^{2023}&4\\1.25&-2^{3}\end{vmatrix} $的值为(B)
A.1
B.3
C.-11
D.-13

答案： B 【解析】原式$=(-1)^{2023}×(-2^{3})-4×1.25=-1×(-8)-5=8-5=3$,故选 B.

2 新考向 传统文化 [2025 江苏宿迁期中,中]根据我国古代《易经》记载,远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”。如图,一人在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录采集到的野果的个数。已知他一共采集到的野果数不少于 75 个,则他在第 2 根绳子上打结的可能情况有(C)
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种

答案： C 【解析】根据题意,得$\frac{75-(1×7^{2}+3)}{7}=3\cdots\cdots2$,因此他在第2根绳子上打结的个数可以是4,5,6,共3种可能的情况,故选 C.

3 [2025 浙江宁波期中,中]已知整数$a$,$b$,$c$,$c ＜ 0$,且满足$|a| + 10b^{2} - 100c^{3} = 2024$,则$a + b + c$的最小值为______-1925。

答案：

因为$a$，$b$，$c$为整数，$c ＜ 0$，且满足$|a| + 10b^{2} - 100c^{3} = 2024$，要使$a + b + c$取最小值，需$a$为负数且绝对值尽可能大，$b$尽可能小，$c$尽可能小。

$b$最小为$0$；$c ＜ 0$，$-100c^{3} = 100|c|^{3}$，$c$越小，$|c|^{3}$越大，$-100c^{3}$越大，则$|a| = 2024 - 10b^{2} + 100c^{3}$越小，所以$c$不能太小，取$c = -1$。

此时$|a| = 2024 - 10×0^{2} + 100×(-1)^{3} = 2024 - 100 = 1924$，则$a = -1924$。

所以$a + b + c = -1924 + 0 + (-1) = -1925$。

$-1925$

4 [中]计算：
(1)$-1^{4} - (-5\frac{1}{2})×\frac{4}{11} + (-2)^{3}÷|-3^{2} + 1|$；
(2)$\frac{2004^{3} - 2×2004^{2} - 2002}{2004^{3} + 2004^{2} - 2005}$。

答案： 【解】
(1)原式$=-1+2-8÷|-9+1|=-1+2-8÷8=-1+2-1=0$.
(2)原式$=\frac{\number{2004}^{2}×(\number{2004}-2)-\number{2002}}{\number{2004}^{2}×(\number{2004}+1)-\number{2005}}=\frac{\number{2002}×(\number{2004}^{2}-1)}{\number{2005}×(\number{2004}^{2}-1)}=\frac{\number{2002}}{\number{2005}}$.

(1)阴影部分的面积是$\frac{1}{64}$。
(2)以下是甲、乙两位同学求$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{6}}$的方法：甲：利用已给正方形的面积和阴影部分的面积得$S = 1 - S_{阴影}$；
乙：$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{6}}$,① $2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}}$,② ② - ①,得$S = 1 - \frac{1}{2^{6}} = \frac{63}{64}$,所以$S的值为\frac{63}{64}$。请借助甲或乙同学的方法,求出$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{99}$的值。
【解】借助乙同学的方法：令$T=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}$，① 则$2T=2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}+2^{100}$，② ②-①，得$T=2^{100}-2$，所以$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}=2^{100}-2$。（也可借助甲同学的方法解答）

答案： 【解】
(1)由题知,阴影部分的面积是$1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{64}$.故答案为$\frac{1}{64}$.
(2)借助乙同学的方法:令$T=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}$,① 则$2T=2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}+2^{100}$,② ②-①,得$T=2^{100}-2$,所以$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{99}=2^{100}-2$.（也可借助甲同学的方法解答）

(1)计算：$2^{100} - 2^{99} = $$2^{99}$；
(2)计算：$2 - 2^{2} - 2^{3} - 2^{4} - … - 2^{2023} + 2^{2024}$。

答案： 【解】
(1)$2^{100}-2^{99}=2^{99}×(2-1)=2^{99}$.故答案为$2^{99}$.
(2)$2-2^{2}-2^{3}-2^{4}-··· -2^{2013}+2^{2014}=2^{2014}-2^{2013}-2^{2012}-··· -2^{2}+2=2^{2013}-2^{2012}-··· -2^{2}+2=2^{2012}-··· -2^{2}+2=2^{2}+2=6$。