《2025年暑假Happy假日七年级理科五四制》

23. (6分)如图,$AC,BC$分别是$\angle BAD, \angle ABE$的平分线,且$\angle 1 + \angle 2 = \angle ACB$.求证:$AD// BE$.

证明：因为$AC$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAD = 2\angle 1$；因为$BC$平分$\angle ABE$，所以$\angle ABE = 2\angle 2$。
又因为$\angle 1+\angle 2=\angle ACB$，且$\angle 1 + \angle 2+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$2(\angle 1+\angle 2)=180^{\circ}$，即$\angle BAD+\angle ABE = 180^{\circ}$。
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AD// BE$。

答案： 因为$AC$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAD = 2\angle 1$；因为$BC$平分$\angle ABE$，所以$\angle ABE = 2\angle 2$。
又因为$\angle 1+\angle 2=\angle ACB$，且$\angle 1 + \angle 2+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$2(\angle 1+\angle 2)=180^{\circ}$，即$\angle BAD+\angle ABE = 180^{\circ}$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// BE$。

24. (8分)如图,三角形$DEF$是由三角形$ABC$经过某种变换得到的图形,点$A$与点$D$,点$B$与点$E$,点$C$与点$F$分别是对应点,观察对应点的坐标之间的关系,解答下列问题:

(1) 分别写出点$A,D,B,E,C,F$的坐标,并写出对应点的坐标的特征;
$A$(2,3)，$D$(-2,-3)；$B$(1,2)，$E$(-1,-2)；$C$(3,1)，$F$(-3,-1)，对应点坐标的特征：对应点的横、纵坐标分别互为相反数。
(2) 若点$P(a + 3, 4 - b)$与点$Q(2a, 2b - 3)$也是上述变换下的一对对应点,求$a,b$的值.
$a=$-1，$b=$-1。

答案： 1. （1）
由图可知：
$A(2,3)$，$D(-2,-3)$；$B(1,2)$，$E(-1,-2)$；$C(3,1)$，$F(-3,-1)$。
对应点坐标的特征：对应点的横、纵坐标分别互为相反数，即若点$M(x,y)$与点$N$是对应点，则$N(-x,-y)$。
2. （2）
解：
因为点$P(a + 3,4 - b)$与点$Q(2a,2b - 3)$是对应点，根据（1）中对应点坐标的特征$\left\{\begin{array}{l}a + 3=-2a\\4 - b=-(2b - 3)\end{array}\right.$。
对于方程$a + 3=-2a$：
移项可得$a+2a=-3$，即$3a=-3$，解得$a = - 1$。
对于方程$4 - b=-(2b - 3)$：
去括号得$4 - b=-2b + 3$。
移项可得$-b + 2b=3 - 4$，即$b=-1$。
综上，（1）$A(2,3)$，$D(-2,-3)$；$B(1,2)$，$E(-1,-2)$；$C(3,1)$，$F(-3,-1)$，对应点横、纵坐标分别互为相反数；（2）$a=-1$，$b = - 1$。