《2025年暑假Happy假日七年级理科五四制》

18. 如图是中国象棋棋盘的一半,棋子"马"走的规则是沿"日"形的对角线走. 例如:图中的"马"可以从它所在的位置直接走到点$A$,点$B$或点$C$处.

(1)若建立平面直角坐标系,使"帅"所在的点表示为$(0,0)$,"马"所在的点表示为$(-3,0)$,则"相"所在的点可以表示为______(4,2);
(2)在(1)的条件下,若从现在"马"的位置走到"相"的位置,请按"马"走的规则,写出一条你认为合理的路线(用坐标表示).(-3,0)→(-1,1)→(1,2)→(3,3)→(4,2)（答案不唯一）

答案：
(1)$(4,2)$
(2)$(-3,0)\to(-1,1)\to(1,2)\to(3,3)\to(4,2)$（答案不唯一）

19. 在平面直角坐标系中,点$A$的坐标是$(3a-5,a+1)$.
(1)若点$A$在$y$轴上,求$a$的值及点$A$的坐标;
(2)若点$A$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等,且点$A$在$y$轴的右侧,求$a$的值及点$A$的坐标.

答案： $(1)$ 求点$A$在$y$轴上时$a$的值及点$A$的坐标
- **步骤一：根据$y$轴上点的坐标特征列方程
在平面直角坐标系中，$y$轴上的点横坐标为$0$。
已知点$A$的坐标是$(3a - 5,a + 1)$，因为点$A$在$y$轴上，所以$3a - 5 = 0$。
- **步骤二：解方程求$a$的值
解$3a - 5 = 0$这个方程，
移项可得$3a=5$，
两边同时除以$3$，解得$a=\frac{5}{3}$。
- **步骤三：求点$A$的坐标
把$a = \frac{5}{3}$代入$a + 1$，可得$a + 1=\frac{5}{3}+1=\frac{5 + 3}{3}=\frac{8}{3}$。
所以，$a$的值为$\frac{5}{3}$，点$A$的坐标为$(0,\frac{8}{3})$。
$(2)$ 求点$A$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等且在$y$轴右侧时$a$的值及点$A$的坐标
- **步骤一：根据点到坐标轴的距离公式列方程
在平面直角坐标系中，点$(x,y)$到$x$轴的距离为$\vert y\vert$，到$y$轴的距离为$\vert x\vert$。
已知点$A$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等，所以$\vert 3a - 5\vert=\vert a + 1\vert$。
又因为点$A$在$y$轴右侧，所以$3a - 5\gt0$，即$3a\gt5$，$a\gt\frac{5}{3}$。
那么$3a - 5=a + 1$（因为$a\gt\frac{5}{3}$时，$3a - 5\gt0$，$a + 1\gt0$）。
- **步骤二：解方程求$a$的值
解$3a - 5=a + 1$这个方程，
移项可得$3a - a=1 + 5$，
合并同类项得$2a=6$，
两边同时除以$2$，解得$a = 3$。
- **步骤三：求点$A$的坐标
把$a = 3$代入$3a - 5$，可得$3a - 5=3\times3 - 5=9 - 5 = 4$；
把$a = 3$代入$a + 1$，可得$a + 1=3 + 1 = 4$。
所以，$a$的值为$3$，点$A$的坐标为$(4,4)$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{a=\frac{5}{3}}$，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{8}{3})}$；$(2)$$\boldsymbol{a = 3}$，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(4,4)}$。