《2025年文涛书业假期作业快乐暑假八年级数学北师大版》

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$∠A=30^{\circ }$，$BD$平分$∠ABC$交$AC$于点$D$。求证：点$D$在$AB$的垂直平分线上。
证明：$\because ∠C = 90 ^ { \circ }, ∠A = 30 ^ { \circ }$，
$\therefore ∠CBA = $$60^{\circ }$。
又$\because BD$平分$∠ABC$交$AC$于点$D$，
$\therefore ∠CBD = ∠ABD = $$30^{\circ }$，
$\therefore ∠ABD = ∠A = 30 ^ { \circ }$，
$\therefore $$AD = BD$，$\therefore$点$D$在$AB$的垂直平分线上。

答案： 证明：$\because ∠C = 90 ^ { \circ }, ∠A = 30 ^ { \circ }$，
$\therefore ∠CBA = 60 ^ { \circ }$。
又$\because BD$平分$∠ABC$交$AC$于点$D$，
$\therefore ∠CBD = ∠ABD = 30 ^ { \circ }$，
$\therefore ∠ABD = ∠A = 30 ^ { \circ }$，
$\therefore AD = BD$，$\therefore$点$D$在$AB$的垂直平分线上。

13. 已知方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y=-7-a\\ x-y=1+3a,\end{array}\right. $的解$x$为非正数，$y$为负数。
（1）求$a$的取值范围；$- 2 ＜ a \leq 3$
（2）化简$|a-3|+|a+2|$；5
（3）在$a$的取值范围中，当$a$为何整数时，不等式$2ax+x＞2a+1$的解为$x＜1$。$-1$

答案： 解：（1）解方程组，得$\left\{ \begin{array} { l } { x = - 3 + a }, \\ { y = - 4 - 2 a }, \end{array} \right.$
根据题意，得$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 + a \leq 0 } \\ { - 4 - 2 a ＜ 0 } \end{array} \right.$
解不等式组，得$- 2 ＜ a \leq 3$。
（2）当$- 2 ＜ a \leq 3$时，$| a - 3 | + | a + 2 | = 5$。
（3）整理不等式得$( 2 a + 1 ) x ＞ 2 a + 1$，要使不等式解为$x ＜ 1$，则$2 a + 1 ＜ 0$，
解得$a ＜ - \frac { 1 } { 2 }$，
$\therefore$当$- 2 ＜ a \leq 3$时，取$a = - 1$。

14. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵接到抢修一段长 3600 m 道路的任务，按原计划完成总任务的$\frac {1}{3}$后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了 50%，一共用了 10 小时完成任务。
（1）按原计划完成总任务的$\frac {1}{3}$时，已抢修道路1200m；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米。
解：设原计划每小时抢修道路280米，
根据题意得$\frac { 1200 } { x } + \frac { 3600 - 1200 } { ( 1 + 50 \% ) x } = 10$
解得：$x = 280$。
经检验：$x = 280$是原方程的解。

答案： 解：（1）按原计划完成总任务的$\frac { 1 } { 3 }$时，已抢修道路$3600 \times \frac { 1 } { 3 } = 1200$（米）。
（2）设原计划每小时抢修道路$x$米，
根据题意得$\frac { 1200 } { x } + \frac { 3600 - 1200 } { ( 1 + 50 \% ) x } = 10$
解得：$x = 280$。
经检验：$x = 280$是原方程的解。