《2025年文涛书业假期作业快乐暑假八年级数学北师大版》

11. 如图，已知在 Rt$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AC=6,BC=4$，将$△ABC$绕直角顶点 C 顺时针旋转$90^{\circ }$得到$△DEC$. 若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则$AF=$5.

答案： 5

12. 如图，在$△ABC$中，$AB=AC,∠A=36^{\circ }$，DE 是 AC 的垂直平分线，求证：$△BCD$是等腰三角形.

证明：$\because AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，$\therefore \angle B = \angle ACB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 72^{\circ}$。$\because DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，$\therefore AD = DC$，$\therefore \angle ACD = \angle A = 36^{\circ}$。$\therefore \angle CDB = \angle ACD + \angle A = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ}$，$\therefore \angle B = \angle CDB$，$\therefore CB = CD$，$\therefore \triangle BCD$ 是等腰三角形。

答案： 证明：$\because AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，
$\therefore \angle B = \angle ACB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 72^{\circ}$。
$\because DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
$\therefore AD = DC$，$\therefore \angle ACD = \angle A = 36^{\circ}$。
$\therefore \angle CDB = \angle ACD + \angle A = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle B = \angle CDB$，
$\therefore CB = CD$，$\therefore \triangle BCD$ 是等腰三角形。

13. 仔细阅读下面的例题，解答问题：
例题：已知二次三项式$x^{2}-4x+m$有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为$(x+n)$，得
$x^{2}-4x+m=(x+3)(x+n)$，
则$x^{2}-4x+m=x^{2}+(n+3)x+3n$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} n+3=-4,\\ m=3n,\end{array}\right. $
解得：$n=-7,m=-21$.
$\therefore$ 另一个因数为$(x-7)$，m 的值为 -21.
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式$2x^{3}+3x-k$有一个因式是$(2x-5)$，求另一个因式以及 k 的值.
解：设另一个因式为$(x+4)$，得
$2x^{2}+3x-k=(2x-5)(x+4)$，
则$2x^{2}+3x-k=2x^{2}+(2a-5)x-5a$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 2a-5=3,\\ -k=-5a,\end{array}\right. $
解得：$a=4$，$k=20$.
$\therefore$ 另一个因式为$(x+4)$，k 的值为20.

答案： 【解析】：设另一个因式为$(x + a)$，得$2x^{2}+3x - k=(2x - 5)(x + a)$。
则$2x^{2}+3x - k=2x^{2}+(2a - 5)x - 5a$。
所以可得方程组$\begin{cases}2a - 5 = 3\\-k=-5a\end{cases}$。
解第一个方程$2a - 5 = 3$，移项可得$2a=3 + 5$，即$2a = 8$，解得$a = 4$。
把$a = 4$代入第二个方程$-k=-5a$，可得$-k=-5×4$，即$-k=-20$，解得$k = 20$。
所以另一个因式为$(x + 4)$。
【答案】：另一个因式为$(x + 4)$，$k$的值为$20$