《2025年新课程暑假作业本七年级综合A版山西教育出版社》

4. 如图,要在燃气管道$l$上修建一个泵站,分别向$

A

$,$

B

$两村供气,泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短?

答案：
如图，点P即为所求.
　　　　　　　　　　　　　

5. (1)如图①,在直线$AB$一侧有$C$,$D$两点,在$AB$上找一点$P$,使以$C$,$D$,$P$三点为顶点的三角形的周长最短,找出此点并说明理由;
(2)如图②,在$∠AOB$内部有一点$P$,在$OA$,$OB$上是否分别存在点$E$,$F$,使以$E$,$F$,$P$三点为顶点的三角形的周长最短? 若存在,找出$E$,$F$两点,并说明理由;
(3)如图③,在$∠AOB$内部有$M$,$N$两点,在$OA$,$OB$上是否分别存在点$E$,$F$,使以$E$,$F$,$M$,$N$四点为顶点的四边形的周长最短? 若存在,找出$E$,$F$两点,并说明理由.

答案：

(1)如图①，作点C关于直线AB的对称点C'，连接C'D交AB于点P，则点P就是所要求作的点.
理由：如图①，在直线AB上取不同于点P的点P'，连接CP'，DP'，P'C'.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵ 点C和点C'关于直线AB对称，
∴ PC = PC'，P'C = P'C'.
∵ PC' + PD ＜ P'C' + P'D，
∴ PC + PD ＜ P'C + P'D.
∴ CD + PC + PD ＜ CD + P'C + P'D，
即△CDP的周长小于△CDP'的周长.
(2)存在. 如图②，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，则点E，F就是所要求作的点.
理由：如图②，在OA，OB上分别取不同于点E，F的点E'，F'，连接E'F'，CE'，E'P，PF'，DF'.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵ 点C和点P关于直线OA对称，
∴ PE = CE，CE' = PE'.
同理可得PF = DF，PF' = DF'.
∴ PE + EF + PF = CE + EF + DF，PE' + E'F' + PF' = CE' + E'F' + DF'.
∵ CE + EF + DF ＜ CE' + E'F' + DF'，
∴ PE + EF + PF ＜ PE' + E'F' + PF'，即△EFP的周长小于△E'F'P的周长.
(3)存在. 如图③，作点M关于OA的对称点C，作点N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，则点E，F就是所要求作的点.
理由：如图③，在OA，OB上分别取不同于点E，F的点E'，F'，连接CE'，E'F'，DF'，E'M，F'N.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵ 点C和点M关于直线OA对称，点D和点N关于直线OB对称，
∴ ME = CE，CE' = ME'，NF = DF，NF' = DF'.
同
(2)可知MN + ME + EF + NF ＜ MN + ME' + E'F' + F'N，
即四边形MEFN的周长小于四边形ME'F'N的周长.