《2025年新课程暑假作业本七年级综合A版山西教育出版社》

1. 请阅读下面的解题过程,感受从特殊到一般的数学思想,类比推理解决以下问题.
例 化简:$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$.
解:原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)$
$=2^8 - 1$.
(1) 填空:$(a - b)$$\cdot (b + a) = a^2 - b^2$;
(2) 化简:$(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$;
解：原式$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^8 - 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16} - 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32} - 1)$
$=$$\frac{3^{32} - 1}{2}$
(3) 运用上面所学内容直接写出下面两题的答案.
①$(5 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)×\cdots×(5^{128} + 1) =$$\frac{5^{256} - 1}{6}$;
②若$m(m ≠ 1)$,$n$均为正整数,则$(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1)\cdot\cdots\cdot(m^{2^n} + 1) =$$\frac{m^{4n} - 1}{m - 1}$.

答案：
(1) $(a - b)$
(2) $\frac{3^{32} - 1}{2}$
(3) ① $\frac{5^{256} - 1}{6}$ ② $\frac{m^{4n} - 1}{m - 1}$

2. 阅读:
已知$a + b = 3$,$ab = 1$,求$a^2 + b^2$的值.
解:$\because a + b = 3$,
$\therefore (a + b)^2 = 9$,即$a^2 + 2ab + b^2 = 9$.
$\because ab = 1$,
$\therefore a^2 + b^2 = 7$.
根据上面的解题思路与方法,回答下列各题:
(1) 已知$x + y = 8$,$x^2 + y^2 = 40$,求$xy$的值;
(2) 请直接写出下列各题的答案:
①若$2a + b = 5$,$ab = 2$,则$2a - b =$____$\pm 3$;
②若$(4 - x)(5 - x) = 8$,则$(4 - x)^2 + (5 - x)^2 =$____17;
(3) 如图,$C$是线段$AB$上一点,分别以$AC$,$BC$为边在$AB$两侧作正方形$ACDE$和正方形$BCFG$.设$AB = 6$,正方形$ACDE$的面积为$S_1$,正方形$BCFG$的面积为$S_2$,$S_1 + S_2 = 18$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1) 12
(2) ① $\pm 3$ ② 17
(3) 设 $AC = m$，$BC = n$.
$\because AB = 6$，
$\therefore m + n = 6$.
$\because S_{1} + S_{2} = 18$，
$\therefore m^{2} + n^{2} = 18$.
由完全平方公式，得 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2}$，即 $6^{2} = 18 + 2mn$，
$\therefore mn = 9$，
$\therefore S_{阴影部分} = \frac{1}{2}mn = \frac{9}{2}$.