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1. 如图 19 - 36,在$平行四边形 ABCD$中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E,F 分别为 OB,OD 的中点,延长 AE 至 G,使$EG = AE$,连接 CG.
(1) 求证:$△ABE\cong △CDF$.
证明：∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，∴ $ AB = CD $，$ AB // CD $，$ OB = OD $，$ OA = OC $，∴ $ \angle ABE = \angle CDF $. ∵ 点 $ E $，$ F $ 分别为 $ OB $，$ OD $ 的中点，∴ $ BE = \frac{1}{2}OB $，$ DF = \frac{1}{2}OD $，∴ $ BE = DF $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$ \begin{cases} AB = CD, \\ \angle ABE = \angle CDF, \\ BE = DF, \end{cases} $ ∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF$(
(2) 当 AB 与 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形? 请说明理由.
当
(1) 求证:$△ABE\cong △CDF$.
证明：∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，∴ $ AB = CD $，$ AB // CD $，$ OB = OD $，$ OA = OC $，∴ $ \angle ABE = \angle CDF $. ∵ 点 $ E $，$ F $ 分别为 $ OB $，$ OD $ 的中点，∴ $ BE = \frac{1}{2}OB $，$ DF = \frac{1}{2}OD $，∴ $ BE = DF $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$ \begin{cases} AB = CD, \\ \angle ABE = \angle CDF, \\ BE = DF, \end{cases} $ ∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF$(
SAS
).(2) 当 AB 与 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形? 请说明理由.
当
$AC = 2AB$
时，四边形 $ EGCF $ 是矩形. 理由如下：∵ $ AC = 2OA $，$ AC = 2AB $，∴ $ AB = OA $. ∵ $ E $ 是 $ OB $ 的中点，∴ $ AG \perp OB $，∴ $ \angle OEG = 90^{\circ} $. 同理：$ CF \perp OD $. ∴ $ AG // CF $，∴ $ EG // CF $. ∵ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $，∴ $ AE = CF $. 又∵ $ EG = AE $，∴ $ EG = CF $，∴ 四边形 $ EGCF $ 是平行四边形. ∵ $ \angle OEG = 90^{\circ} $，∴ 四边形 $ EGCF $ 是矩形.
答案：
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AB = CD $，$ AB // CD $，$ OB = OD $，$ OA = OC $，
∴ $ \angle ABE = \angle CDF $.
∵ 点 $ E $，$ F $ 分别为 $ OB $，$ OD $ 的中点，
∴ $ BE = \frac{1}{2}OB $，$ DF = \frac{1}{2}OD $，
∴ $ BE = DF $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$ \begin{cases} AB = CD, \\ \angle ABE = \angle CDF, \\ BE = DF, \end{cases} $
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF(SAS) $.
(2) 当 $ AC = 2AB $ 时，四边形 $ EGCF $ 是矩形. 理由如下：
∵ $ AC = 2OA $，$ AC = 2AB $，
∴ $ AB = OA $.
∵ $ E $ 是 $ OB $ 的中点，
∴ $ AG \perp OB $，
∴ $ \angle OEG = 90^{\circ} $. 同理：$ CF \perp OD $.
∴ $ AG // CF $，
∴ $ EG // CF $.
∵ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $，
∴ $ AE = CF $. 又
∵ $ EG = AE $，
∴ $ EG = CF $，
∴ 四边形 $ EGCF $ 是平行四边形.
∵ $ \angle OEG = 90^{\circ} $，
∴ 四边形 $ EGCF $ 是矩形.
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AB = CD $，$ AB // CD $，$ OB = OD $，$ OA = OC $，
∴ $ \angle ABE = \angle CDF $.
∵ 点 $ E $，$ F $ 分别为 $ OB $，$ OD $ 的中点，
∴ $ BE = \frac{1}{2}OB $，$ DF = \frac{1}{2}OD $，
∴ $ BE = DF $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$ \begin{cases} AB = CD, \\ \angle ABE = \angle CDF, \\ BE = DF, \end{cases} $
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF(SAS) $.
(2) 当 $ AC = 2AB $ 时，四边形 $ EGCF $ 是矩形. 理由如下：
∵ $ AC = 2OA $，$ AC = 2AB $，
∴ $ AB = OA $.
∵ $ E $ 是 $ OB $ 的中点，
∴ $ AG \perp OB $，
∴ $ \angle OEG = 90^{\circ} $. 同理：$ CF \perp OD $.
∴ $ AG // CF $，
∴ $ EG // CF $.
∵ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $，
∴ $ AE = CF $. 又
∵ $ EG = AE $，
∴ $ EG = CF $，
∴ 四边形 $ EGCF $ 是平行四边形.
∵ $ \angle OEG = 90^{\circ} $，
∴ 四边形 $ EGCF $ 是矩形.
2. 如图 19 - 37,已知$△ABC$中,$AB = AC = a$,M 为底边 BC 上任意一点,过点 M 分别作 AB,AC 的平行线交 AC 于 P,交 AB 于 Q.
(1) 线段 QM,PM,AB 之间有什么关系? 说明理由.
(2) M 位于 BC 的什么位置时,四边形 AQMP 为菱形? 说明理由.
(1) 线段 QM,PM,AB 之间有什么关系? 说明理由.
(2) M 位于 BC 的什么位置时,四边形 AQMP 为菱形? 说明理由.
答案：
(1) $ QM + PM = AB $. 理由如下：
∵ $ QM // AC $，$ PM // AB $，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是平行四边形，
∴ $ AP = QM $，$ AQ = PM $，$ \angle QMB = \angle C $.
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle B = \angle C $，
∴ $ \angle B = \angle QMB $，
∴ $ BQ = QM $，
∴ $ AB = AQ + BQ = QM + PM $.
(2) 当 $ M $ 为 $ BC $ 的中点时，四边形 $ AQMP $ 是菱形. 理由如下：如图，连接 $ AM $，
∵ $ AB = AC $，$ M $ 为 $ BC $ 的中点，
∴ $ \angle BAM = \angle CAM $.
∵ $ QM // AC $，
∴ $ \angle QMA = \angle CAM $，
∴ $ \angle QAM = \angle QMA $，
∴ $ AQ = QM $.
∵ $ QM // AC $，$ PM // AB $，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是平行四边形，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是菱形.
(1) $ QM + PM = AB $. 理由如下：
∵ $ QM // AC $，$ PM // AB $，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是平行四边形，
∴ $ AP = QM $，$ AQ = PM $，$ \angle QMB = \angle C $.
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle B = \angle C $，
∴ $ \angle B = \angle QMB $，
∴ $ BQ = QM $，
∴ $ AB = AQ + BQ = QM + PM $.
(2) 当 $ M $ 为 $ BC $ 的中点时，四边形 $ AQMP $ 是菱形. 理由如下：如图，连接 $ AM $，
∵ $ AB = AC $，$ M $ 为 $ BC $ 的中点，
∴ $ \angle BAM = \angle CAM $.
∵ $ QM // AC $，
∴ $ \angle QMA = \angle CAM $，
∴ $ \angle QAM = \angle QMA $，
∴ $ AQ = QM $.
∵ $ QM // AC $，$ PM // AB $，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是平行四边形，
∴ 四边形 $ AQMP $ 是菱形.
3. 如图 19 - 38,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O. 过点 C 作 BD 的平行线,过点 D 作 AC 的平行线,两直线相交于点 E.
(1) 求证:四边形 OCED 是矩形;
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，∴ ∠COD=90°. ∵ CE//OD，DE//OC，∴ 四边形 OCED 是平行四边形. 又∵ ∠COD=90°，∴ 平行四边形 OCED 是矩形.
(2) 若CE=1,DE=2,求四边形 ABCD 的面积.
解：由(1)知，四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴ 菱形 ABCD 的面积为
(1) 求证:四边形 OCED 是矩形;
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，∴ ∠COD=90°. ∵ CE//OD，DE//OC，∴ 四边形 OCED 是平行四边形. 又∵ ∠COD=90°，∴ 平行四边形 OCED 是矩形.
(2) 若CE=1,DE=2,求四边形 ABCD 的面积.
解：由(1)知，四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴ 菱形 ABCD 的面积为
4
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答案：
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AC \perp BD $，
∴ $ \angle COD = 90^{\circ} $.
∵ $ CE // OD $，$ DE // OC $，
∴ 四边形 $ OCED $ 是平行四边形. 又
∵ $ \angle COD = 90^{\circ} $，
∴ 平行四边形 $ OCED $ 是矩形.
(2) 由
(1) 知，平行四边形 $ OCED $ 是矩形，则 $ CE = OD = 1 $，$ DE = OC = 2 $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AC = 2OC = 4 $，$ BD = 2OD = 2 $，
∴ 菱形 $ ABCD $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 $.
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AC \perp BD $，
∴ $ \angle COD = 90^{\circ} $.
∵ $ CE // OD $，$ DE // OC $，
∴ 四边形 $ OCED $ 是平行四边形. 又
∵ $ \angle COD = 90^{\circ} $，
∴ 平行四边形 $ OCED $ 是矩形.
(2) 由
(1) 知，平行四边形 $ OCED $ 是矩形，则 $ CE = OD = 1 $，$ DE = OC = 2 $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AC = 2OC = 4 $，$ BD = 2OD = 2 $，
∴ 菱形 $ ABCD $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 $.
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