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5. 如图 19 - 31,E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把$△ADE$绕点 A 顺时针旋转$90^{\circ}$到$△ABF$的位置. 若四边形 AECF 的面积为 20,$DE = 2$,则 AE 的长为 (
A. 4
B. $\sqrt{20}$
C. 6
D. $\sqrt{24}$
D
)A. 4
B. $\sqrt{20}$
C. 6
D. $\sqrt{24}$
答案：
D
6. 如图 19 - 32,四边形 ABCD 是平行四边形,下列说法不正确的是 (
A. 当$AC = BD$时,四边形 ABCD 是矩形
B. 当$AB = BC$时,四边形 ABCD 是菱形
C. 当$AC⊥BD$时,四边形 ABCD 是菱形
D. 当$∠DAB = 90^{\circ}$时,四边形 ABCD 是正方形
D
)A. 当$AC = BD$时,四边形 ABCD 是矩形
B. 当$AB = BC$时,四边形 ABCD 是菱形
C. 当$AC⊥BD$时,四边形 ABCD 是菱形
D. 当$∠DAB = 90^{\circ}$时,四边形 ABCD 是正方形
答案：
D
1. 如图 19 - 33,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且$AO = CO$,$BO = DO$,要使 ABCD 是菱形,则需添加的一个条件是
$AC \perp BD$
(不加字母和辅助线).
答案：
$AC \perp BD$
2. 如图 19 - 34,四边形 ACDF 是正方形,$∠CEA$和$∠ABF$都是直角,且点 E,A,B 三点共线,$AB = 4$,则阴影部分的面积是____
8
.
答案：
8
3. 以正方形 ABCD 的边 AD 为边作等边$△ADE$,则$∠BEC$的度数是____.
答案：
$30^{\circ}$或 $150^{\circ}$ 提示：分等边 $ \triangle ADE $ 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得。
如图①，
∵ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \triangle ADE $ 为等边三角形，
∴ $ AB = BC = CD = AD = AE = DE $，$ \angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = 90^{\circ} $，$ \angle AED = \angle ADE = \angle DAE = 60^{\circ} $，
∴ $ \angle BAE = \angle CDE = 150^{\circ} $. 又
∵ $ AB = AE $，$ DC = DE $，
∴ $ \angle AEB = \angle CED = 15^{\circ} $，
∴ $ \angle BEC = \angle AED - \angle AEB - \angle CED = 30^{\circ} $.
如图②，
∵ $ \triangle ADE $ 是等边三角形，
∴ $ AD = DE $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD = DC $，
∴ $ DE = DC $，
∴ $ \angle CED = \angle ECD $，
∴ $ \angle CDE = \angle ADC - \angle ADE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $，
∴ $ \angle CED = \angle ECD = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ} $. 同理 $ \angle ABE = \angle AEB = 75^{\circ} $.
∴ $ \angle BEC = 360^{\circ} - 75^{\circ} \times 2 - 60^{\circ} = 150^{\circ} $.
综上所述，$ \angle BEC $ 的度数为 $ 30^{\circ} $或 $ 150^{\circ} $.
$30^{\circ}$或 $150^{\circ}$ 提示：分等边 $ \triangle ADE $ 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得。
如图①，
∵ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \triangle ADE $ 为等边三角形，
∴ $ AB = BC = CD = AD = AE = DE $，$ \angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = 90^{\circ} $，$ \angle AED = \angle ADE = \angle DAE = 60^{\circ} $，
∴ $ \angle BAE = \angle CDE = 150^{\circ} $. 又
∵ $ AB = AE $，$ DC = DE $，
∴ $ \angle AEB = \angle CED = 15^{\circ} $，
∴ $ \angle BEC = \angle AED - \angle AEB - \angle CED = 30^{\circ} $.
如图②，
∵ $ \triangle ADE $ 是等边三角形，
∴ $ AD = DE $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD = DC $，
∴ $ DE = DC $，
∴ $ \angle CED = \angle ECD $，
∴ $ \angle CDE = \angle ADC - \angle ADE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $，
∴ $ \angle CED = \angle ECD = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ} $. 同理 $ \angle ABE = \angle AEB = 75^{\circ} $.
∴ $ \angle BEC = 360^{\circ} - 75^{\circ} \times 2 - 60^{\circ} = 150^{\circ} $.
综上所述，$ \angle BEC $ 的度数为 $ 30^{\circ} $或 $ 150^{\circ} $.
4. 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 19 - 35 所示,点 B 的坐标为$(3,4)$,D 是 OA 的中点,点 E 在 AB 上,当$△CDE$的周长最小时,点 E 的坐标为____
$(3, \frac{4}{3})$
.
答案：
$ (3, \frac{4}{3}) $ 提示：作点 $ D $ 关于直线 $ AB $ 的对称点 $ H $，连接 $ CH $，与 $ AB $ 的交点为 $ E $，此时 $ \triangle CDE $ 的周长最小.
∵ 点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{3}{2}, 0) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (3, 0) $，
∴ 点 $ H $ 的坐标为 $ (\frac{9}{2}, 0) $，
∴ 直线 $ CH $ 的函数关系式为 $ y = -\frac{8}{9}x + 4 $，
∴ 当 $ x = 3 $ 时，$ y = \frac{4}{3} $，
∴ 点 $ E $ 的坐标为 $ (3, \frac{4}{3}) $.
∵ 点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{3}{2}, 0) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (3, 0) $，
∴ 点 $ H $ 的坐标为 $ (\frac{9}{2}, 0) $，
∴ 直线 $ CH $ 的函数关系式为 $ y = -\frac{8}{9}x + 4 $，
∴ 当 $ x = 3 $ 时，$ y = \frac{4}{3} $，
∴ 点 $ E $ 的坐标为 $ (3, \frac{4}{3}) $.
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