《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学华师大版》

1. 如图19-25，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO = OC，BO = OD，且$ \angle AOB = 2 \angle OAD $.
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵ $ AO = OC $，$ BO = OD $，∴ 四边形ABCD是平行四边形。∵ $ \angle AOB $ 是 $ \triangle AOD $ 的外角，∴ $ \angle AOB = \angle OAD + \angle ADO $。又 ∵ $ \angle AOB = 2\angle OAD $，∴ $ \angle OAD = \angle ADO $，∴ $ AO = OD $。又 ∵ $ AC = AO + OC = 2AO $，$ BD = BO + OD = 2OD $，∴ $ AC = BD $，∴ 四边形ABCD是矩形。
(2) 若$ \angle AOB : \angle ODC = 4 : 3 $，求$ \angle ADO $的度数.
解：设$ \angle AOB = 4x $，则$ \angle ODC = 3x $，$ \angle OCD = 3x $，$ \angle DOC = 4x $。在$ \triangle ODC $中，$ \angle DOC + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ $，∴ $ 4x + 3x + 3x = 180^\circ $。解得$ x = 18^\circ $。∴ $ \angle ODC = 3 × 18^\circ = 54^\circ $，∴ $ \angle ADO = 90^\circ - \angle ODC = 90^\circ - 54^\circ = $36°。

答案：
(1)
∵ $ AO = OC $，$ BO = OD $，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。
∵ $ \angle AOB $ 是 $ \triangle AOD $ 的外角，
∴ $ \angle AOB = \angle OAD + \angle ADO $。又
∵ $ \angle AOB = 2\angle OAD $，
∴ $ \angle OAD = \angle ADO $，
∴ $ AO = OD $。又
∵ $ AC = AO + OC = 2AO $，$ BD = BO + OD = 2OD $，
∴ $ AC = BD $，
∴ 四边形 ABCD 是矩形。
(2) 设 $ \angle AOB = 4x $，则 $ \angle ODC = 3x $，$ \angle OCD = 3x $，$ \angle DOC = 4x $。在 $ \triangle ODC $ 中，$ \angle DOC + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ $，
∴ $ 4x + 3x + 3x = 180^\circ $。解得 $ x = 18^\circ $。
∴ $ \angle ODC = 3 \times 18^\circ = 54^\circ $，
∴ $ \angle ADO = 90^\circ - \angle ODC = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ $。

2. 如图19-26，$ \angle CAE $是$ \triangle ABC $的外角，AD平分$ \angle EAC $，且AD $ // $ BC. 过点C作CG $ \perp $ AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG.
(1) 求证：AC = FG.
证明：∵ AD 平分 $ \angle EAC $，且 $ AD // BC $，∴ $ \angle ABC = \angle EAD = \angle CAD = \angle ACB $，∴ $ AB = AC $。∵ AF 是 BC 边上的中线，∴ $ AF \perp BC $。∵ $ CG \perp AD $，$ AD // BC $，∴ $ CG \perp BC $，∴ $ AF // CG $，∴ 四边形 AFCG 是平行四边形。∵ $ \angle AFC = 90^\circ $，∴ 四边形 AFCG 是矩形，∴ $ AC = FG $。
(2) 当AC $ \perp $ FG时，$ \triangle ABC $应是怎样的三角形？说明理由.
等腰直角三角形，理由如下：∵ 四边形 AFCG 是矩形，AC $ \perp $ FG，∴ 四边形 AFCG 是正方形，$ \angle ACB = 45^\circ $。∵ $ AB = AC $，∴ $ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形。

答案：
(1)
∵ AD 平分 $ \angle EAC $，且 $ AD // BC $，
∴ $ \angle ABC = \angle EAD = \angle CAD = \angle ACB $，
∴ $ AB = AC $。
∵ AF 是 BC 边上的中线，
∴ $ AF \perp BC $。
∵ $ CG \perp AD $，$ AD // BC $，
∴ $ CG \perp BC $，
∴ $ AF // CG $，
∴ 四边形 AFCG 是平行四边形。
∵ $ \angle AFC = 90^\circ $，
∴ 四边形 AFCG 是矩形，
∴ $ AC = FG $。
(2) 当 $ AC \perp FG $ 时，$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形。理由如下：
∵ 四边形 AFCG 是矩形，
∴ 四边形 AFCG 是正方形，$ \angle ACB = 45^\circ $。
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形。