《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学华师大版》

二、矩形的判定
1. 如图19-5,在$平行四边形 ABCD$中,M,N是BD上两点,$BM=DN$,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (A)
A.$OM=\frac {1}{2}AC$
B.$MB=MO$
C.$BD⊥AC$
D.$∠AMB=∠CND$

答案： 1. A

2. 已知:线段AB,BC,$∠ABC=90^{\circ }$.
求作:矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业:
甲:如图19-6①,Ⅰ. 以点C为圆心,AB的长为半径画弧;
Ⅱ. 以点A为圆心,BC的长为半径画弧;
Ⅲ. 两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求.
乙:如图19-6②,Ⅰ. 连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
Ⅱ. 连接BM并延长,在延长线上取一点D,使$MD=MB$,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求.
对于两人的作业,下列说法正确的是 (A)

A. 两人都对
B. 两人都不对
C. 甲对,乙不对
D. 甲不对,乙对

答案： 2. A

3. 如图19-7,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作$EF// BC$,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD. 若$AE=2,PF=8$,则图中阴影部分的面积为 ( )

A. 10
B. 12
C. 16
D. 18

答案：
3. C 提示：作PM⊥AD于M，交BC于N；
则有四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形，
∴ S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PDF=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴ S△PDF=S△PBE=$\frac{1}{2}$×2×8 = 8，
∴ S阴影=8 + 8 = 16.

4. 如图19-8,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作$平行四边形 ABDE$,连接AD,EC.

(1) 求证:$\triangle ADC\cong \triangle ECD$;
∵ 四边形ABDE是平行四边形，∴ AB//DE，AB = DE，∴ ∠B = ∠EDC. 又∵ AB = AC，∴ AC = DE，∠B = ∠ACB，∴ ∠EDC = ∠ACD. ∵ 在△ADC和△ECD中，
$\begin{cases}AC = ED, \\ ∠ACD = ∠EDC, \\ DC = CD,\end{cases}$
∴ △ADC ≌ △ECD(SAS).
(2) 若$BD=CD$,求证:四边形ADCE是矩形.
∵ 四边形ABDE是平行四边形，∴ BD//AE，BD = AE，∴ AE//CD. 又∵ BD = CD，∴ AE = CD，∴ 四边形ADCE是平行四边形. 在△ABC中，AB = AC，BD = CD，∴ AD⊥BC，∴ ∠ADC = 90°，∴ 四边形ADCE是矩形.

答案： 4.
(1)
∵ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ AB//DE，AB = DE，
∴ ∠B = ∠EDC. 又
∵ AB = AC，
∴ AC = DE，∠B = ∠ACB，
∴ ∠EDC = ∠ACD.
∵ 在△ADC和△ECD中，
$\begin{cases}AC = ED, \\ ∠ACD = ∠EDC, \\ DC = CD,\end{cases}$
∴ △ADC ≌ △ECD(SAS).
(2)
∵ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ BD//AE，BD = AE，
∴ AE//CD. 又
∵ BD = CD，
∴ AE = CD，
∴ 四边形ADCE是平行四边形. 在△ABC中，AB = AC，BD = CD，
∴ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ADCE是矩形.