《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学华师大版》

2. 某书店决定用不多于20000元购进甲、乙两种图书共1200本进行销售. 甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1680元在该书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元?
(2)书店为了让利读者,决定甲种图书的售价每本降低3元,乙种图书的售价每本降低2元. 问:书店应如何进货才能获得最大利润? (假设购进的两种图书全部销售完)

答案：
(1) 设乙种图书的售价为每本 $ x $ 元, 则甲种图书的售价为每本 $ 1.4x $ 元, 由题意, 得 $ \frac{1400}{x} - \frac{1680}{1.4x} = 10 $. 解得 $ x = 20 $. 经检验, $ x = 20 $ 是原方程的解. 所以甲种图书的售价为每本 $ 1.4 \times 20 = 28 $ (元). 答: 甲种图书的售价为每本 $ 28 $ 元, 乙种图书的售价为每本 $ 20 $ 元.
(2) 设甲种图书进货 $ a $ 本, 总利润 $ w $ 元, 则 $ w = (28 - 20 - 3)a + (20 - 14 - 2)(1200 - a) = a + 4800 $. $ \because 20a + 14 \times (1200 - a) \leq 20000 $. 解得 $ a \leq \frac{1600}{3} $. $ \because w $ 随 $ a $ 的增大而增大, $ \therefore $ 当 $ a $ 最大时, $ w $ 最大, $ \therefore $ 当 $ a = 533 $ 时, $ w $ 最大, 此时, 乙种图书进货本数为 $ 1200 - 533 = 667 $. 答: 甲种图书进货 $ 533 $ 本, 乙种图书进货 $ 667 $ 本时才能获得最大利润.

3. 如图17-23,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+b(b＜0)$与坐标轴交于$A$,$B$两点,与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$交于$D$点,过点$D$作$DC\perp x$轴,垂足为$C$,连接$OD$. 已知$\triangle AOB\cong\triangle ACD$.
(1)如果$b=-2$,求$k$的值;4
(2)试探究$k$与$b$的数量关系,并写出直线$OD$的函数表达式.$k = b^2$，$y = x$

答案：
(1) 当 $ b = -2 $ 时, 直线 $ y = 2x - 2 $ 与坐标轴交点的坐标为 $ A(1,0) $, $ B(0,-2) $. $ \because \triangle AOB \cong \triangle ACD $, $ \therefore OB = CD $, $ AO = AC $, $ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (2,2) $. $ \because $ 点 $ D $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上, $ \therefore k = 2 \times 2 = 4 $.
(2) 直线 $ y = 2x + b $ 与坐标轴交点的坐标为 $ A(-\frac{b}{2},0) $, $ B(0,b) $. $ \because \triangle AOB \cong \triangle ACD $, $ \therefore OB = CD $, $ AO = AC $, $ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (-b,-b) $. $ \because $ 点 $ D $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上, $ \therefore k = (-b) \cdot (-b) = b^2 $, 即 $ k $ 与 $ b $ 的数量关系为 $ k = b^2 $, $ \therefore $ 直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y = x $.