搜索
2. 某学校在体育用品商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元。
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元。
(2)新学期开学，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个。恰逢该商场对这两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%。如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元。
(2)新学期开学，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个。恰逢该商场对这两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%。如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
答案：
（1）设购买一个甲种足球需 $ x $ 元，则购买一个乙种足球需 $ (x + 20) $ 元，由题意，得 $ \frac{2000}{x}=2\times\frac{1400}{x + 20} $。解得 $ x = 50 $。经检验，$ x = 50 $ 是原方程的解。所以 $ x + 20 = 70 $。答：购买一个甲种足球需 50 元，购买一个乙种足球需 70 元。
（2）设这所学校再次购买 $ y $ 个乙种足球，则购买 $ (50 - y) $ 个甲种足球，由题意，得 $ 50\times(1 + 10\%)\times(50 - y)+70\times(1 - 10\%)y\leq2900 $。解得 $ y\leq18.75 $。由题意知，最多可购买 18 个乙种足球。答：这所学校最多可购买 18 个乙种足球。
（2）设这所学校再次购买 $ y $ 个乙种足球，则购买 $ (50 - y) $ 个甲种足球，由题意，得 $ 50\times(1 + 10\%)\times(50 - y)+70\times(1 - 10\%)y\leq2900 $。解得 $ y\leq18.75 $。由题意知，最多可购买 18 个乙种足球。答：这所学校最多可购买 18 个乙种足球。
3. 【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
| | 菜价3元/千克 |
| --- | --- |
| | 质量 | 金额 |
| 甲 | 1千克 | 3元 |
| 乙 | 1千克 | 3元 |
| | 菜价2元/千克 |
| | 质量 | 金额 |
| 甲 | 1千克 |
| 乙 |
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价。(均价=总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\overline {x_{甲}}$和$\overline {x_{乙}}$。比较$\overline {x_{甲}}$与$\overline {x_{乙}}$的大小，并说明理由。
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次：如果水流速度为0时，船的速度为v，所需时间为$t_{1}$；如果水流速度为$p(0＜p＜v)$时，船顺水航行速度为$(v+p)$，逆水航行速度为$(v-p)$，所需时间为$t_{2}$。请借鉴上面的研究经验，比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小，并说明理由。
| | 菜价3元/千克 |
| --- | --- |
| | 质量 | 金额 |
| 甲 | 1千克 | 3元 |
| 乙 | 1千克 | 3元 |
| | 菜价2元/千克 |
| | 质量 | 金额 |
| 甲 | 1千克 |
2
元 || 乙 |
1.5
千克 | 3元 |(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价。(均价=总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\overline {x_{甲}}$和$\overline {x_{乙}}$。比较$\overline {x_{甲}}$与$\overline {x_{乙}}$的大小，并说明理由。
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次：如果水流速度为0时，船的速度为v，所需时间为$t_{1}$；如果水流速度为$p(0＜p＜v)$时，船顺水航行速度为$(v+p)$，逆水航行速度为$(v-p)$，所需时间为$t_{2}$。请借鉴上面的研究经验，比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小，并说明理由。
答案：
【生活观察】（1）2 1.5 （2）根据题意，得 $ \overline{x}_{甲}=(3 + 2)\div(1 + 1)=2.5 $（元/千克），$ \overline{x}_{乙}=(3 + 3)\div(1 + 1.5)=2.4 $（元/千克）。答：甲两次买菜的均价为 2.5 元/千克，乙两次买菜的均价为 2.4 元/千克。
【数学思考】$ \overline{x}_{甲}=(am + bm)\div(m + m)=\frac{a + b}{2} $（元/千克），$ \overline{x}_{乙}=(n + n)\div(\frac{n}{a}+\frac{n}{b})=\frac{2ab}{a + b} $（元/千克）。$ \overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}\geq0 $。当 $ a = b $ 时，$ \overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙} $；当 $ a\neq b $ 时，$ \overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙} $。
【知识迁移】$ t_{1}＜t_{2} $。理由如下：$ t_{1}=\frac{2s}{v} $，$ t_{2}=\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p} $，$ \therefore t_{1}-t_{2}=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p})=\frac{2s(v + p)(v - p)-sv(v - p)-sv(v + p)}{v(v + p)(v - p)}=\frac{-2sp^{2}}{v(v + p)(v - p)}＜0 $，$ \therefore t_{1}＜t_{2} $。
【数学思考】$ \overline{x}_{甲}=(am + bm)\div(m + m)=\frac{a + b}{2} $（元/千克），$ \overline{x}_{乙}=(n + n)\div(\frac{n}{a}+\frac{n}{b})=\frac{2ab}{a + b} $（元/千克）。$ \overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}\geq0 $。当 $ a = b $ 时，$ \overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙} $；当 $ a\neq b $ 时，$ \overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙} $。
【知识迁移】$ t_{1}＜t_{2} $。理由如下：$ t_{1}=\frac{2s}{v} $，$ t_{2}=\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p} $，$ \therefore t_{1}-t_{2}=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p})=\frac{2s(v + p)(v - p)-sv(v - p)-sv(v + p)}{v(v + p)(v - p)}=\frac{-2sp^{2}}{v(v + p)(v - p)}＜0 $，$ \therefore t_{1}＜t_{2} $。
查看更多完整答案，请扫码查看
