《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司七年级数学北师大版》

5. （2024·海南中考）下列计算正确的是（B）
A. $3a^{2}-2a^{2}=1$
B. $a^{3}\div a^{2}=a(a\neq 0)$
C. $a^{2}\cdot a^{3}=a^{6}$
D. $(2a)^{3}=6a^{3}$

答案： B

项目情境
为了美化校园环境，学校计划在一块长为$(3a + 2b)m$、宽为$(2a + b)m$的长方形空地上修建一个景观花园，同时在花园四周铺设一条宽度为$x m$的鹅卵石小路。
问题
（1）请用含$a$，$b$，$x$的式子表示花园的面积；（先通过画图分析，再列出整式乘法式子进行计算）
（2）当$a = 5$，$b = 3$，$x = 1$时，计算花园的实际面积；
（3）学校准备采购修建花园所需的花卉，已知每平方米需要$y$株花卉，且花卉的单价为$z$元/株，采购花卉的总预算为$M$元。请建立一个关于$M$，$y$，$z$以及前面计算出的花园面积$S$的等式关系，并说明如果预算$M$有限，要想采购足够数量的花卉，可以从哪些方面进行调整。

答案：

(1) 如图所示:

花园面积 $S = (3a + 2b - 2x)(2a + b - 2x)m^2$，利用多项式乘法法则展开:
$S = (3a + 2b - 2x)(2a + b - 2x) = 3a(2a + b - 2x) + 2b(2a + b - 2x) - 2x(2a + b - 2x) = 6a^2 + 3ab - 6ax + 4ab + 2b^2 - 4bx - 4ax - 2bx + 4x^2 = 6a^2 + 2b^2 + 4x^2 + 7ab - 10ax - 6bx$ ①
(2) 当 $a = 5$， $b = 3$， $x = 1$ 时，花园实际面积计算:
将值代入 ① 式 $S = 6 \times 5^2 + 2 \times 3^2 + 4 \times 1^2 + 7 \times 5 \times 3 - 10 \times 5 \times 1 - 6 \times 3 \times 1 = 6 \times 25 + 2 \times 9 + 4 + 105 - 50 - 18 = 150 + 18 + 4 + 105 - 50 - 18 = 209(m^2)$
(3) 等式关系建立及调整策略:
因为花园面积为 $S m^2$，每平方米需要 $y$ 株花卉，花卉单价为 $z$ 元/株，总预算为 $M$ 元，所以 $M = S \times y \times z$。
如果预算 $M$ 有限，要想采购足够数量的花卉，可以从以下方面调整:
① 降低花卉单价 $z$，通过与供应商协商、选择更经济实惠的花卉品种等方式。
② 减少每平方米所需花卉数量 $y$，可以优化花卉种植布局，选择植株较大、覆盖面积广的花卉品种。
③ 减小花园面积 $S$，重新规划花园设计，缩小花园规模。