《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司七年级数学北师大版》

7. 如图2-1-1-1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC+BC=14，$S_{△ABC}=24$，则$AC^{2}+BC^{2}$的值是100。

答案： 解：在 $ Rt\triangle ABC $ 中，
因为 $ S_{\triangle ABC} = 24 $，
所以 $ \frac{1}{2}AC \cdot BC = 24 $，
所以 $ 2AC \cdot BC = 96 $。
因为 $ AC + BC = 14 $，
所以 $ AC^{2} + BC^{2} = (AC + BC)^{2} - 2AC \cdot BC $
$=14^{2}-96=100.$

例1 你能用两种方法表示图2-1-1-2-1中大正方形的面积吗？

方法一：$S_{大正方形}=$$(a + b)^2$。
方法二：$S_{大正方形}=$$c^{2}+2ab$。

答案： 【解析】：方法一：大正方形的边长为$(a + b)$，根据正方形面积公式$S=$边长$\times$边长，可得$S_{大正方形}=(a + b)^2$，将$(a + b)^2$展开$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$。
方法二：大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。四个直角三角形的面积为$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab$，中间小正方形的边长为$c$，面积为$c^2$，所以$S_{大正方形}=2ab + c^2$。
【答案】：$(a + b)^2$；$c^{2}+2ab$

例2 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们像图2-1-1-2-2所示拼成两个大正方形。
证明：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

解析：从整体上看，这两个大正方形的边长都是$a + b$，因此它们的面积相等。我们再用不同的方法来表示这两个大正方形的面积，即可证明勾股定理。
证明：由图易知，这两个大正方形的边长都是$a + b$，所以它们的面积相等。左边的大正方形面积可表示为$a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab×4$，右边的大正方形面积可表示为$c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$。因为$a^{2}+b^{2}+$$\frac{1}{2}ab×4 = c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理。

答案： 【解析】：从整体上看，这两个大正方形的边长都是$a + b$，因此它们的面积相等。我们再用不同的方法来表示这两个大正方形的面积，即可证明勾股定理。左边的大正方形面积可表示为$a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab×4$，右边的大正方形面积可表示为$c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$。因为$a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab×4 = c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$