《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司七年级数学北师大版》

16. 若$a^{m}=a^{n}$（$a＞0$且$a\neq 1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$。你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）已知$2× 8^{x}× 16=2^{23}$，求$x$的值；
解: $2 × 8^x × 16 = 2^{23}$，
$2 × (2^3)^x × 2^4 = 2^{23}$，
$2 × 2^{3x} × 2^4 = 2^{23}$，
$2^{3x + 5} = 2^{23}$，
$3x + 5 = 23$，
解得 $x =$6。
（2）已知$2^{x + 3}× 3^{x + 3}=36^{x - 2}$，求$x$的值。
解: $2^{x + 3} × 3^{x + 3} = 36^{x - 2}$，
$6^{x + 3} = (6^2)^{x - 2}$，
$6^{x + 3} = 6^{2x - 4}$，
$x + 3 = 2x - 4$，
解得 $x =$7。

答案： 解:
(1) $2 \times 8^x \times 16 = 2^{23}$，
$2 \times (2^3)^x \times 2^4 = 2^{23}$，
$2 \times 2^{3x} \times 2^4 = 2^{23}$，
$2^{3x + 5} = 2^{23}$，
$3x + 5 = 23$，
解得 $x = 6$。
(2) $2^{x + 3} \times 3^{x + 3} = 36^{x - 2}$，
$6^{x + 3} = (6^2)^{x - 2}$，
$6^{x + 3} = 6^{2x - 4}$，
$x + 3 = 2x - 4$，
解得 $x = 7$。

17. 数形结合思想是初中数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化。“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用。
【问题探究】
探究：如图1-1-2①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形。

请用两种不同的方法表示图1-1-2②中阴影部分的面积。
方法1：$(m + n)^2 - 4mn$；
方法2：$(m - n)^2$。
【得出结论】
观察如图1-1-2②，请你写出下列三个代数式：$(m + n)^{2}$，$(m - n)^{2}$，$mn$之间的等量关系。
【应用结论】
根据以上等量关系，解决如下问题：已知：$a - b = 5$，$ab = -6$，求$(a + b)^{2}$的值。

答案： 解: 【问题探究】
方法 1: $S_{阴影} = (m + n)^2 - 4mn$。
方法 2: $S_{阴影} = (m - n)^2$。
【得出结论】根据题意可知, $(m + n)^2 - 4mn = (m - n)^2$。
【应用结论】根据题意可知, $a - b = 5$， $ab = -6$，
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 5^2 + 4 \times (-6) = 25 - 24 = 1$。