《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司七年级数学北师大版》

16. 如图1-2-13，$O$是直线$AB$上一点，$\angle AOC = 120^{\circ}$，$OD$平分$\angle BOC$。
(1) 求$\angle BOD$的度数；30°
(2) 在$\angle AOC$内作射线$OE$，使$\angle AOE:\angle DOE = 2:3$，请你写出一对互余的角，并说明理由。∠COE与∠COD互余
理由:因为$∠BOD = 30^{\circ}$,
所以$∠AOD = 180^{\circ} - ∠BOD = 150^{\circ}$。
因为$∠AOE:∠DOE = 2:3$,
所以$∠AOE = \frac{2}{5}∠AOD = 60^{\circ}$, $∠DOE = \frac{3}{5}∠AOD = 90^{\circ}$,
所以$∠COE + ∠COD = 90^{\circ}$。

答案： 解:
(1)因为$∠AOC = 120^{\circ}$,
所以$∠BOC = 180^{\circ} - ∠AOC = 60^{\circ}$。
因为OD平分$∠BOC$,
所以$∠BOD = \frac{1}{2}∠BOC = 30^{\circ}$。
(2) $∠COE$与$∠COD$互余。
理由:因为$∠BOD = 30^{\circ}$,
所以$∠AOD = 180^{\circ} - ∠BOD = 150^{\circ}$。
因为$∠AOE:∠DOE = 2:3$,
所以$∠AOE = \frac{2}{5}∠AOD = 60^{\circ}$, $∠DOE = \frac{3}{5}∠AOD = 90^{\circ}$,
所以$∠COE + ∠COD = 90^{\circ}$。

17. 综合探究：探究旋转过程中角之间的关系。
如图1-2-14，已知点$O$是直线$AB$上一点，$\angle COD = 90^{\circ}$。现将直角三角尺$EOF$的直角顶点放在点$O$处，并绕着点$O$旋转。
(1) 如图①，$OF$落在直线$AB$上，若$\angle DOE = 60^{\circ}$，求$\angle COF$的度数；120°
(2) 将直角三角尺$EOF$旋转至图②所示的位置，请判断$\angle DOE$和$\angle COF$是否互补，并说明理由；互补，理由如下：因为∠COD=90°，∠EOF=90°，所以∠COD+∠EOF=180°，即∠COE+∠EOD+∠EOF=180°，所以∠DOE+∠COF=180°，故∠DOE和∠COF互补
(3) 将直角三角尺$EOF$旋转至图③所示的位置，若$OE$平分$\angle AOC$，$\angle COF=\beta$，求$\angle BOD$的度数。(用含$\beta$的代数式表示)2β - 90°

答案： 解:
(1)因为$∠COD = 90^{\circ}$, $∠DOE = 60^{\circ}$,
所以$∠COE = ∠COD - ∠DOE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为$∠EOF = 90^{\circ}$,
所以$∠COF = ∠COE + ∠EOF = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$。
(2) $∠DOE$和$∠COF$互补,理由如下:
因为$∠COD = 90^{\circ}$, $∠EOF = 90^{\circ}$,
所以$∠COD + ∠EOF = 180^{\circ}$,
所以$∠COE + ∠EOD + ∠EOF = 180^{\circ}$,
所以$∠DOE + ∠COF = 180^{\circ}$,
所以$∠DOE$和$∠COF$互补。
(3)因为$∠EOF = 90^{\circ}$,
所以$∠EOC + ∠COF = 90^{\circ}$,
所以$∠EOC = 90^{\circ} - ∠COF$。
因为OE平分$∠AOC$,
所以$∠AOC = 2∠EOC$。
因为$∠BOD + ∠AOC + ∠COD = 180^{\circ}$, $∠COD = 90^{\circ}$,
所以$∠BOD = 180^{\circ} - ∠COD - ∠AOC = 90^{\circ} - ∠AOC = 90^{\circ} - 2∠EOC = 90^{\circ} - 2(90^{\circ} - ∠COF) = 90^{\circ} - 180^{\circ} + 2∠COF = 2∠COF - 90^{\circ}$。