《2025年实验班提优训练暑假衔接版三升四年级数学人教版》

脑洞大开的鸡兔同笼趣解
鸡兔同笼这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约1500年前,《孙子算经》就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有稚兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问稚兔各几何？

这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔。你会解答这个问题吗？让我们一起看看《孙子算经》中是如何解答这个问题的吧！

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样：
(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只。
(2)若笼子里每多一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。
因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47 - 35 = 12(只),鸡就有35 - 12 = 23(只)。
这一思路新颖奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。


除了“砍足法”,你还能想到哪些方法来解决鸡兔同笼问题？请列举并简单说明。
视频讲答案

答案： 【解析】：以下为除“砍足法”外解决鸡兔同笼问题的方法及说明：1. **假设法**：假设全是鸡，那么脚的总数会比实际少。每把一只兔当成鸡，脚数就少算$4 - 2 = 2$只。用实际脚数与假设全是鸡时脚数的差除以$2$，就可得到兔的数量，再用总头数减去兔的数量就是鸡的数量。例如，鸡兔共$35$只，脚共$94$只。假设全是鸡，脚有$35×2 = 70$只，比实际少$94 - 70 = 24$只。每把一只兔当成鸡少$2$只脚，所以兔有$24÷2 = 12$只，鸡有$35 - 12 = 23$只。同样也可以假设全是兔，此时脚的总数会比实际多。每把一只鸡当成兔，脚数就多算$4 - 2 = 2$只。用假设全是兔时脚数与实际脚数的差除以$2$，可得到鸡的数量，再用总头数减去鸡的数量就是兔的数量。2. **方程法**：**一元一次方程**：设鸡（或兔）的数量为$x$只，那么兔（或鸡）的数量就是总头数减去$x$只。根据鸡脚数加上兔脚数等于总脚数的等量关系列方程求解。比如，设鸡有$x$只，兔就有$(35 - x)$只，可列方程$2x + 4×(35 - x)=94$，然后解方程$2x+140 - 4x = 94$，$- 2x=94 - 140$，$- 2x=-46$，$x = 23$，则兔有$35 - 23 = 12$只。**二元一次方程组**：设鸡有$x$只，兔有$y$只。根据鸡兔总头数可列方程$x + y=$总头数，根据鸡兔总脚数可列方程$2x + 4y=$总脚数，然后联立方程组求解。对于上述例子，可列方程组$\begin{cases}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{cases}$，由第一个方程得$x = 35 - y$，代入第二个方程$2×(35 - y)+4y = 94$，$70 - 2y+4y = 94$，$2y = 24$，$y = 12$，再把$y = 12$代入$x = 35 - y$得$x = 23$。3. **列表法**：列出鸡和兔不同数量组合下对应的脚的总数，通过逐步尝试不同的鸡兔数量，直到找到脚的总数与题目中给定的脚数相等的情况。从鸡$0$只、兔等于总头数开始列表，依次减少兔的数量，增加鸡的数量，计算每次组合的脚数。如鸡$0$只、兔$35$只时，脚有$35×4 = 140$只；鸡$1$只、兔$34$只时，脚有$1×2+34×4 = 138$只，依次类推，直到找到符合脚数为$94$只的组合。【答案】：除“砍足法”外，解决鸡兔同笼问题的方法还有假设法、方程法（包括一元一次方程和二元一次方程组）、列表法。假设法是通过假设全是鸡或全是兔，根据脚数的差异来计算鸡兔数量；方程法是根据鸡兔数量关系和脚数关系列方程求解；列表法是通过列举不同鸡兔数量组合对应的脚数来找到答案。