《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

21.(10 分)我们用$[a]$表示不大于 $a$ 的最大整数,$a - [a]$ 的值称为数 $a$ 的小数部分.
如$[2.13]= 2$,$2.13$ 的小数部分为 $2.13 - [2.13]= 0.13$.
(1)$[\sqrt{3}]=$1,$[\sqrt{7}]=$2,$-3.2$ 的小数部分为0.8；
(2)设$\sqrt{5}$的小数部分为 $m$,则$(\sqrt{5}+[\sqrt{5}])m=$1；
(3)设 $4-\sqrt{7}$ 的小数部分为 $x$,$y$ 为有理数,已知 $x^{2}+xy$ 的结果为有理数 $n$,求 $n$ 的值.
n=-2

答案：
(1)1，2，0.8；
(2)1；
(3)n=-2

22.(10 分)阅读材料,解答下列问题：
例：当 $a＞0$ 时,如 $a = 6$,则$|a|= |6|= 6$,故此时 $a$ 的绝对值是它本身；
当 $a = 0$ 时,$|a|= 0$,故此时 $a$ 的绝对值是零；
当 $a＜0$ 时,如 $a= -6$,则$|a|= |-6|= -(-6)$,故此时 $a$ 的绝对值是它的相反数.
综上所述,一个数的绝对值要分三种情况,即$|a|= \begin{cases}a(a＞0),\\0(a = 0),\\-a(a＜0).\end{cases} $
(1)这种分析方法渗透了分类讨论的数学思想；
(2)请仿照例中的方法,分析$\sqrt{a^{2}}$的各种展开情况；
当$a＞0$时，如$a=6$，则$\sqrt{a^{2}}=\sqrt{6^{2}}=6$，故此时$\sqrt{a^{2}}$是它本身；当$a=0$时，$\sqrt{a^{2}}=\sqrt{0^{2}}=0$，故此时$\sqrt{a^{2}}$是零；当$a＜0$时，如$a=-6$，则$\sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-6)^{2}}=6=-(-6)$，故此时$\sqrt{a^{2}}$是它的相反数.综上所述，$\sqrt{a^2}=\begin{cases} a(a＞0), \\ 0(a=0), \\ -a(a＜0). \end{cases}$
(3)猜想$\sqrt{a^{2}}与|a|$的大小关系；
$\sqrt{a^{2}}=|a|$
(4)尝试用以上探究中得到的结论化简：$\sqrt{(x - 5)^{2}}+\sqrt{(x + 3)^{2}}(-3\leqslant x\leqslant5)$.
因为$-3\leqslant x\leqslant5$，所以$x-5\leqslant0$，$x+3\geqslant0$，由(2)(3)可知$\sqrt{(x - 5)^{2}}=|x-5|=5-x$，$\sqrt{(x + 3)^{2}}=|x+3|=x+3$，则$\sqrt{(x - 5)^{2}}+\sqrt{(x + 3)^{2}}=(5 - x)+(x + 3)=8$

答案：
(1)分类讨论；
(2)$\sqrt{a^2}=\begin{cases} a(a＞0), \\ 0(a=0), \\ -a(a＜0). \end{cases}$；
(3)$\sqrt{a^2}=|a|$；
(4)8