《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学地理生物》

13. 如图 9-28,在平面直角坐标系中,已知 $ A(-4,0) $,$ B(2,0) $,点 $ C $ 在 $ y $ 轴正半轴上,且 $ S_{\text{三角形}ABC} = 18 $。
(1) 求点 $ C $ 的坐标。
(2) 是否存在位于坐标轴上的点 $ P $,使 $ S_{\text{三角形}ABC} = 2S_{\text{三角形}ACP} $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。(提示：点 $ P $ 可能在 $ x $ 轴上,也可能在 $ y $ 轴上)

答案：
(1)设点C的坐标为(0,c)(c＞0)，
　
∵ $S_{三角形ABC}=18$，
　
∴ $\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}×[2 - (-4)]×c = 18$。
　　解得c = 6。
　
∴ 点C的坐标为(0,6)。
(2)假设存在。
　　当点P在x轴上时，设点P的坐标为(a,0)；
　　当点P在y轴上时，设点P的坐标为(0,b)。
　
∵ $S_{三角形ABC}=2S_{三角形ACP}=18$，
　
∴ $\frac{1}{2}×|a - (-4)|×6 = 9$ 或 $\frac{1}{2}×|b - 6|×4 = 9$。
　　解得a = - 1或a = - 7，b = 10.5或b = 1.5。
　　故存在符合题意的点P，点P的坐标为(−1,0)或(−7,0)或(0,10.5)或(0,1.5)。