《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学地理生物》

13. 如图7-39,在三角形ABC中,$DE// BC$,$∠EDF= ∠C$。
(1)求证：$∠BDF= ∠A$；
(2)若$∠A= 45^{\circ }$,DF平分$∠BDE$,求$∠B$的度数。

答案：
(1) $\because DE// BC$，$\therefore \angle C=\angle AED$.
$\because \angle EDF=\angle C$，$\therefore \angle AED=\angle EDF$.
$\therefore DF// AC$. $\therefore \angle BDF=\angle A$.
(2) $\because \angle A=45^{\circ}$，$\therefore \angle BDF=45^{\circ}$.
$\because DF$平分$\angle BDE$，
$\therefore \angle BDE=2\angle BDF=90^{\circ}$.
$\because DE// BC$，$\therefore \angle B=90^{\circ}$.

14. 已知$AB// CD$,点E在AB上,点F在DC上,G为射线EF上一点。
(1)【基础问题】如图7-40①,求证：$∠AGD= ∠A+∠D$。
证明：过点G作直线$MN// AB$。
∵$AB// CD$,
∴____$// CD$。
∵$MN// AB$,
∴____$=∠AGM$。
∵$MN// CD$,
∴$∠D= $____(____)。
∴$∠AGD= ∠AGM+∠DGM= ∠A+∠D$。
(2)【类比探究】如图7-40②,当点G在线段EF的延长线上时,请写出$∠AGD$,$∠A$,$∠D$三者之间的数量关系,并说明理由。

(3)【应用拓展】如图7-40③,AH平分$∠GAE$,DH交AH于点H,且$∠GDH= 2∠HDF$,$∠HDF= 22^{\circ }$,$∠H= 32^{\circ }$,直接写出$∠DGA$的度数：____。

答案：

(1) $MN$　$\angle A$　$\angle DGM$　两直线平行，内错角相等
(2) $\angle AGD=\angle A-\angle D$. 理由如下：
如图所示，过点$G$作直线$MN// AB$.
　　　　　
$\because AB// CD$，$\therefore MN// CD$.
$\because MN// AB$，$\therefore \angle A=\angle AGM$.
$\because MN// CD$，$\therefore \angle D=\angle DGM$.
$\therefore \angle AGD=\angle AGM-\angle DGM=\angle A-\angle D$.
(3) $42^{\circ}$ 提示：如图所示，过点$G$作直线$MN// AB$，过点$H$作直线$PQ// AB$.
　　　　
$\because AB// CD$，$\therefore MN// CD,PQ// CD$.
$\because MN// AB,PQ// AB$，
$\therefore \angle BAG=\angle AGM,\angle BAH=\angle AHP$.
$\because MN// CD,PQ// CD$，
$\therefore \angle CDG=\angle DGM,\angle CDH=\angle DHP$.
$\because \angle GDH=2\angle HDF,\angle HDF=22^{\circ}$，
$\therefore \angle GDH=44^{\circ},\angle DHP=22^{\circ}$.
$\therefore \angle CDG=66^{\circ}$.
$\because \angle AHD=32^{\circ}$，$\therefore \angle AHP=54^{\circ}$.
$\therefore \angle DGM=66^{\circ},\angle BAH=54^{\circ}$.
$\because AH$平分$\angle GAE$，
$\therefore \angle BAG=2\angle BAH=108^{\circ}$.
$\therefore \angle AGM=108^{\circ}$.
$\therefore \angle DGA=\angle AGM-\angle DGM=42^{\circ}$.