《2025年点石成金金牌每课通七年级数学上册人教版辽宁专版》

4 2025 大连中山区期末 综合与实践
【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…，这样的自然数能被3整除.一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.我们可以论证这个结论的正确性.以三位数为例，设$\overline{abc}$是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除.论证过程如下：
$\overline{abc}=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)$，显然99a+9b能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么$\overline{abc}$就能被3整除.
【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究：
|两位数|十位数字|个位数字|十位数字减个位数字的2倍|
|----|----|----|----|
|14|1|4|1-2×4=-7|
|21|2|1|2-2×1=0|
|28|2|8|2-2×8=-14|
|35|3|5|3-2×5=-7|
|…|…|…|…|
|98|9|8|9-2×8=-7|
他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除.
(1)请你仿照问题背景中的推理方法验证小聪发现的结论.
(2)小聪继续探究，发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是b，除个位数字外的部分用a表示，推理过程与上面相同，依然能得到当a-2b是7的倍数时，原数能被7整除，反之亦成立.请按照小聪推广后的结论解决下列问题：
①判断7938是否能被7整除.(写出判断过程)
②若一个正整数m能被7整除，m的最后四位数是3025，求m的最小值.
解：(1)设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数是10x + y.
10x + y = 7x + 3x + 7y - 6y = 7(x + y) + 3(x - 2y).
因为7(x + y)是7的倍数，3不能被7整除，
所以当(x - 2y)是7的倍数时，这个两位数能被7整除.
(2)①793 - 2×8 = 777.
因为777是7的倍数，所以7938能被7整除.
②设n为正整数m除最后四位数外的部分，则m = 10000n + 3025.
因为(10000n + 3025)能被7整除，
所以(1000n + 302 - 2×5)是7的倍数.
所以(1000n + 292)是7的倍数.
因为1000n + 292 = (994n + 287) + (6n + 5) = 7(142n + 41) + (6n + 5)，
所以(6n + 5)是7的倍数.
因为n是正整数，所以n的最小值是5.
所以m的最小值是53025.

答案： 4. 解：
(1)设这个两位数的十位数字是$x$，个位数字是$y$，则这个两位数是$10x + y$.
$10x + y = 7x + 3x + 7y - 6y = 7(x + y) + 3(x - 2y)$.
因为$7(x + y)$是 7 的倍数，3 不能被 7 整除，
所以当$(x - 2y)$是 7 的倍数时，这个两位数能被 7 整除.
(2)①$793 - 2×8 = 777$.
因为 777 是 7 的倍数，所以 7 938 能被 7 整除.
②设$n$为正整数$m$除最后四位数外的部分，则$m = 10 000n + 3 025$.
因为$(10 000n + 3 025)$能被 7 整除，
所以$(1 000n + 302 - 2×5)$是 7 的倍数.
所以$(1 000n + 292)$是 7 的倍数.
因为$1 000n + 292 = (994n + 287) + (6n + 5) = 7(142n + 41) + (6n + 5)$，
所以$(6n + 5)$是 7 的倍数.
因为$n$是正整数，所以$n$的最小值是 5.
所以$m$的最小值是 53 025.