《2025年点石成金金牌每课通七年级数学上册人教版辽宁专版》

1 小嘉在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即结绳计数，类似现在我们熟悉的进位制.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如：图1中表示的数是31，则图2中表示的数是（C）
A. 42
B. 46
C. 86
D. 32

答案： 1. C
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根据题意，可知从右边起第一根绳子上一个结点表示1，第二根绳子上一个结点表示5，第三根绳子上一个结点表示25.
所以图2中表示的数是$25×3+5×2+1=86$. 故选C.

2 在进位制中，通常我们使用的是十进制，即“逢十进一”，而进位制方法很多，如六十进制：60秒化为1分，60分化为1小时；二十四进制：24小时化为1天；七进制：7天化为1周等.而计算机使用的数是二进制数，即“逢二进一”.二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为$(1101)_2$，$(1101)_2$通过式子$1×2^3+1×2^2+0×2+1$可以转换为十进制数13.仿照上面的转换方法，将二进制数$(11101)_2$转换为十进制数是（B）
A. 15
B. 29
C. 30
D. 33

答案： 2. B
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$(11101)_{2}=1×2^{4}+1×2^{3}+1×2^{2}+0×2+1=29$. 故选B.

3 日常生活中，我们使用的是十进制数，即数的进位方法是“逢十进一”.计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”.有时候我们也会用到三进制数，即数的进位方法是“逢三进一”.例如：二进制数$(1011)_2$用十进制数可以表示为$1×2^3+0×2^2+1×2+1=11$.三进制数$(201)_3$用十进制数可以表示为$2×3^2+0×3+1=19$.
（1）现有三进制数$a=(221)_3$，二进制数$b=(10111)_2$，试比较$a$与$b$的大小.
（2）十进制数18可以用二进制数表示为______$(10010)_2$.

答案： 3.
(1) 解：根据题意，可得$a=(221)_{3}=2×3^{2}+2×3+1=25$，
$b=(10111)_{2}=1×2^{4}+0×2^{3}+1×2^{2}+1×2+1=23$.
因为$25＞23$，所以$a＞b$.
(2) $(10010)_{2}$
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因为$18=2^{4}+2$，
所以十进制数18可以用二进制数表示为$(10010)_{2}$.

4 我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关.进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制——$x$进制，转换为十进制数的方法如下：如$x$进制表示的数$(1111)_x$中，从右边数起，第一位上的1表示$1×x^0$，第二位上的1表示$1×x^1$，第三位上的1表示$1×x^2$，第四位上的1表示$1×x^3$，故$(1111)_x$转换为十进制为$(1111)_x=1×x^3+1×x^2+1×x^1+1×x^0$（规定当$x≠0$时，$x^0=1$）.
例如：$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=5$，$(1023)_5=1×5^3+0×5^2+2×5^1+3×5^0=138$.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将六进制数$(3205)_6$转换为十进制表示的数是725，七进制数$(114)_7$转换为十进制表示的数是60，八进制数$(257)_8$转换为十进制表示的数是175.
（2）试探究四进制数$(231)_4$转换为十进制数后能否被5整除，并说明理由.
四进制数$(231)_4$转换为十进制数后能被5整除.
理由：因为$(231)_{4}=2×4^{2}+3×4^{1}+1×4^{0}=45$，
45能被5整除，
所以四进制数$(231)_{4}$转换为十进制数后能被5整除.

答案： 4. 解：
(1)$(3205)_{6}=3×6^{3}+2×6^{2}+0×6^{1}+5×6^{0}=725$.
$(114)_{7}=1×7^{2}+1×7^{1}+4×7^{0}=60$.
$(257)_{8}=2×8^{2}+5×8^{1}+7×8^{0}=175$.
(2) 四进制数$(231)_{4}$转换为十进制数后能被5整除.
理由：因为$(231)_{4}=2×4^{2}+3×4^{1}+1×4^{0}=45$，
45能被5整除，
所以四进制数$(231)_{4}$转换为十进制数后能被5整除.