《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

10. 在平面直角坐标系$xOy$中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知点$A(0,4)$,点$B$是$x$轴正半轴上的点,且点$B$的横坐标为$n$($n$为正整数),记$△AOB$内部(不包括边界)的整点个数为$m$.当$n=12$时,$m$的值为15;当$n=2022$时,$m$的值为3031.

答案： 1. 首先求直线$AB$的方程：
已知$A(0,4)$，$B(n,0)$（$n\gt0$），根据直线的截距式方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（$a$为$x$轴上的截距，$b$为$y$轴上的截距），可得直线$AB$的方程为$\frac{x}{n}+\frac{y}{4}=1$，即$y = 4-\frac{4}{n}x$。
2. 然后求$\triangle AOB$内部（不包括边界）的整点个数：
当$x = 1$时，$y=4 - \frac{4}{n}$；当$x = 2$时，$y = 4-\frac{8}{n}$；$·s$；当$x=n - 1$时，$y=4-\frac{4(n - 1)}{n}=\frac{4}{n}$。
对于$x = k$（$1\leq k\leq n - 1$，$k\in N$），$y$的取值范围是$0\lt y\lt4$，此时$y$的整数个数为$\lfloor4-\frac{4k}{n}\rfloor$（$\lfloor x\rfloor$表示不大于$x$的最大整数）。
我们可以通过找规律来计算$m$的值。
当$n$为偶数时：
$m=\sum_{k = 1}^{n - 1}\lfloor4-\frac{4k}{n}\rfloor$。
当$n = 12$时：
直线$AB$的方程为$y = 4-\frac{4}{12}x=4-\frac{1}{3}x$。
当$x = 1$时，$y = 4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}\approx3.67$，$\lfloor y\rfloor = 3$；
当$x = 2$时，$y = 4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\approx3.33$，$\lfloor y\rfloor = 3$；
当$x = 3$时，$y = 4 - 1 = 3$；
当$x = 4$时，$y = 4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\approx2.67$，$\lfloor y\rfloor = 2$；
当$x = 5$时，$y = 4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}\approx2.33$，$\lfloor y\rfloor = 2$；
当$x = 6$时，$y = 4 - 2 = 2$；
当$x = 7$时，$y = 4-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}\approx1.67$，$\lfloor y\rfloor = 1$；
当$x = 8$时，$y = 4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\approx1.33$，$\lfloor y\rfloor = 1$；
当$x = 9$时，$y = 4 - 3 = 1$；
当$x = 10$时，$y = 4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}\approx0.67$，$\lfloor y\rfloor = 0$（舍去）；
当$x = 11$时，$y = 4-\frac{44}{12}=\frac{48 - 44}{12}=\frac{1}{3}\approx0.33$，$\lfloor y\rfloor = 0$（舍去）。
$m=(3 + 3)+(2 + 2)+(1 + 1)=15$。
一般地，当$n$为偶数时，$m=\frac{(n - 2)×3}{2}$。
当$n = 2022$（$n$为偶数）时：
把$n = 2022$代入$m=\frac{(n - 2)×3}{2}$。
根据公式$m=\frac{(2022 - 2)×3}{2}$。
先计算$2022−2 = 2020$，再计算$\frac{2020×3}{2}=3030$。
所以当$n = 12$时，$m$的值为$15$；当$n = 2022$时，$m$的值为$3030$。

11. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中,$△ABC$的顶点$A$的坐标为$(-2,1)$,顶点$B$的坐标为$(-1,2)$.
(1)在网格图中画出两条坐标轴,并标出坐标原点;
(2)作$△A'B'C'$关于$x$轴对称的图形$△A''B''C''$;
(3)连接$BB'$,求$BB''$的长.

答案：
解:
(1) 如答图.
　　　　　
(2) 画出$\triangle A''B''C''$如答图.
(3) $BB''=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

12. (2024·泰兴期中)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点$P$到$x$轴、$y$轴的距离的较大值称为点$P$的“长距”,点$Q$到$x$轴、$y$轴的距离相等时,称点$Q$为“完美点”.
(1)点$A(-1,3)$的“长距”为______3;
(2)若点$B(4a-1,-3)$是“完美点”,求$a$的值;
解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a =$1或$a =$$-\frac{1}{2}$.
(3)若点$C(-2,3b-2)$的长距为4,且点$C$在第二象限内,点$D$的坐标为$(9-2b,-5)$,试说明:点$D$是“完美点”.
解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 =$4，解得$b =$2，$\therefore 9 - 2b =$5，
$\therefore$ 点$D$的坐标为(5,-5)，
$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.

答案：
(1) 3
(2) 解: $\because$ 点$B(4a - 1,-3)$是“完美点”，
$\therefore |4a - 1| = |-3|$，
$\therefore 4a - 1 = 3$或$4a - 1 = -3$，解得$a = 1$或$a = -\frac{1}{2}$.
(3) 解: $\because$ 点$C(-2,3b - 2)$的长距为 4，且点$C$在第二象限内，
$\therefore 3b - 2 = 4$，解得$b = 2$，$\therefore 9 - 2b = 5$，
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(5,-5)$，
$\therefore$ 点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是 5，$\therefore$ 点$D$是“完美点”.

13. 在平原上有一条笔直的公路,在公路同侧有$A,B$两个村庄.以公路所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系,如图.已知$A,B$两个村庄的坐标分别为$(2,2),(7,4)$,一辆汽车(看成点$P$)在公路($x$轴)上行驶.
(1)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中,到$A,B$两村距离之差最大为多少?

答案：
解:
(1) 如答图①，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-2)$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，则$A'B$的长即为汽车到$A$，$B$两村距离之和的最小值.
$\because B(7,4)$，$\therefore A'B = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 + 2)^{2}} = \sqrt{61}$.
(2) 如答图②，当点$P$为$BA$的延长线与$x$轴的交点时，汽车到$A$，$B$两村距离之差最大，
$AB = \sqrt{(7 - 2)^{2}+(4 - 2)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.