《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

6. 如图，在直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，点 $ A(0,3) $，点 $ B(4,0) $，$ CD \perp x $ 轴，垂足为点 $ D $.
(1) 说明 $ \triangle AOB $ 与 $ \triangle CBD $ 全等；
解：$\because △ABC$是等腰直角三角形,$∠ABC = 90^{\circ },CD⊥x$轴,
$\therefore ∠ABO+∠BAO = 90^{\circ },∠CBD+∠BCD = 90^{\circ },∠ABO+∠CBD = 90^{\circ },AB = BC,$
$\therefore ∠ABO = ∠BCD,∠BAO = ∠CBD,$
在$△AOB$与$△BDC$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO = ∠BCD,\\ AB = BC,\\ ∠BAO = ∠CBD,\end{array}\right. $
$\therefore △AOB\cong △BDC$(ASA).
(2) 求 $ C $ 点坐标；
解：$\because △AOB\cong △BDC,$
$\therefore CD = OB = 4,BD = OA = 3,$
$\therefore$点C的坐标为(7,4).
(3) 若点 $ E(-3,0) $，连接 $ EA $，在直角坐标系中求点 $ P $，使得 $ \triangle PAE $ 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 $ P $ 的坐标.
(0,0)或(-3,3)或(0,-3)或(-6,3)或(-3,6)或(3,0)

答案： 解:
(1)$\because △ABC$是等腰直角三角形,$∠ABC = 90^{\circ },CD⊥x$轴,
$\therefore ∠ABO+∠BAO = 90^{\circ },∠CBD+∠BCD = 90^{\circ },∠ABO+∠CBD = 90^{\circ },AB = BC,$
$\therefore ∠ABO = ∠BCD,∠BAO = ∠CBD,$
在$△AOB$与$△BDC$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO = ∠BCD,\\ AB = BC,\\ ∠BAO = ∠CBD,\end{array}\right. $
$\therefore △AOB\cong △BDC(ASA).$
(2)$\because △AOB\cong △BDC,$
$\therefore CD = OB = 4,BD = OA = 3,$
$\therefore$点C的坐标为$(7,4).$
(3)$\because A(0,3),E(-3,0)$到原点的距离都为3,
$\therefore$要使$△APE$为等腰直角三角形,点P的坐标为$(0,0)$或$(-3,3)$或$(0,-3)$或$(-6,3)$或$(-3,6)$或$(3,0).$