《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

1. 已知在平面直角坐标系中，线段 $ AB // y $ 轴，$ A(-3,4) $，且 $ AB = 4 $，则点 $ B $ 的坐标为$(-3,0)$或$(-3,8)$.

答案： $(-3,0)$或$(-3,8)$

2. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ M $ 的坐标为 $ (2 - t, 2t) $，将点 $ M $ 到 $ x $ 轴的距离记作 $ d_1 $，到 $ y $ 轴的距离记作 $ d_2 $.
(1) 若 $ t = 3 $，则 $ d_1 + d_2 = $______7；
(2) 若 $ t ＜ 0 $，$ d_1 = d_2 $，求点 $ M $ 的坐标；
解:$\because t＜0,\therefore 2 - t＞0,2t＜0,$
$\therefore d_{1}=|2t|=-2t,d_{2}=|2 - t|=2 - t,$
$\because d_{1}=d_{2},\therefore -2t=2 - t,\therefore t=-2,$
$\therefore 2 - t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4,$
$\therefore M$(4,-4).
(3) 若点 $ M $ 在第二象限，且 $ md_1 - 5d_2 = 10 $（$ m $ 为常数），求 $ m $ 的值.
解:∵点M在第二象限,$\therefore 2 - t＜0,2t＞0,$
$\therefore t＞0,d_{1}=|2t|=2t,d_{2}=|2 - t|=t - 2,$
$\because md_{1}-5d_{2}=10,$
$\therefore m×2t-5×(t - 2)=10$,解得$m=$______$\frac{5}{2}$.

答案：
(1)7
(2)解:$\because t＜0,\therefore 2 - t＞0,2t＜0,$
$\therefore d_{1}=|2t|=-2t,d_{2}=|2 - t|=2 - t,$
$\because d_{1}=d_{2},\therefore -2t=2 - t,\therefore t=-2,$
$\therefore 2 - t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4,$
$\therefore M(4,-4).$
(3)解:
∵点M在第二象限,$\therefore 2 - t＜0,2t＞0,$
$\therefore t＞0,d_{1}=|2t|=2t,d_{2}=|2 - t|=t - 2,$
$\because md_{1}-5d_{2}=10,$
$\therefore m×2t-5×(t - 2)=10$,解得$m=\frac {5}{2}.$

3. 在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-2,-1) $，点 $ B(1,3) $，过点 $ A $ 且垂直于 $ y $ 轴的直线上有一点 $ C $，且 $ \triangle ABC $ 的面积为 8，则点 $ C $ 的坐标为$(2,-1)$或$(-6,-1)$.

答案： $(2,-1)$或$(-6,-1)$

4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (1,4) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (-2,6) $，如果存在点 $ D $，使得 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ABC $ 全等，那么点 $ D $ 的坐标为$(4,6),(-2,-2)$或$(4,-2)$.（写出所有可能的情况）

答案： $(4,6),(-2,-2)$或$(4,-2)$

5. 如图，已知点 $ A(4,3) $，若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上且 $ \triangle POA $ 为等腰三角形，求点 $ P $ 的坐标.

答案：
解:如答图,过点A作$AE⊥x$轴于点E,则$OE = 4,AE = 3$,由勾股定理得$OA=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.$

当O为顶角顶点时,以点O为圆心,OA长为半径作弧交x轴于点$P_{1},P_{2}$,则$OP_{1}=OP_{2}=OA = 5,$
$\therefore P_{1}(-5,0),P_{2}(5,0).$
当A为顶角顶点时,以点A为圆心,AO长为半径作弧交x轴于点$P_{3}$,则$AP_{3}=AO,\therefore P_{3}E = OE = 4,$
$\therefore OP_{3}=8,P_{3}(8,0).$
当P为顶角顶点时,作OA的垂直平分线交x轴于点$P_{4}$,设$AP_{4}=OP_{4}=x$,则$P_{4}E = 4 - x$,在$Rt△AP_{4}E$中,由勾股定理得$(4 - x)^{2}+3^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac {25}{8},$
$\therefore OP_{4}=\frac {25}{8},P_{4}(\frac {25}{8},0).$
综上所述,点P的坐标为$(-5,0)$或$(\frac {25}{8},0)$或$(5,0)$或$(8,0).$